第一章函数的基本性质之单调性
一、基本知识
1 .定义：对于函数 y f (x)，对于定义域内的自变量的任意两个值
x「X2，当 捲 x2时，都有
f(xi) f (X2)(或f (xi) f(X2))，那么就说函数 y f (x)在这个区间上是增(或减)函数。
重点2 .证明方法和步骤：
(1) 取值: 设Xi,X2是给定区间上任意两个值，且 (2) 作差:
Xi X2 ；
f(xj fX2)；
(
(3) 变形: (如因式分解、配方等)；
宀口
(4)
(5)
定即 f (xi) f(x2) 0或f (xi) f(x2) 0 ； 号：
根据定义下结论。
3?常见函数的单调性
⑴ 心) 也+乩k o|时，回在R上是增函数；k (2) 0), (0 , + g)上是增函数, (k<0时)，匚匚1在(一g, 0), (0, + g)上是减函数， 2 (3)二次函数的单调性：对函数 f(x) ax bx c (a 0), b 当a 0时函数f (x)在对称轴x —— 的左侧单调减小，右侧单调增加； a K 当a 0时函数f (x)在对称轴x —— 的左侧单调增加，右侧单调减小； a 4 .复合函数的单调性：复合函数 y f(g(x))在区间(a,b)具有单调性的规律见下表: 增/ 增/ 增/ 减\\ 减\\ 减\\ 增/ 减\\ 减\\ 增/ y f(u) u g(x) y f (g(x)) 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减” 在函数f(x)、g(x)公共定义域内， 增函数f (x)增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)减函数g (x)是减函数; 5.函数的单调性的应用： 判断函数y 例题分析 f(x)的单调性；比较大小；解不等式；求最值(值域) T 2 例1 :证明函数f(x)=区_1在(0， + 上是减函数。 例2 :证明F@) = / + 3|在定义域上是增函数。 例3 :证明函数f(x)=x 的单调性。 3 例4 :讨论函数y =一 ； 1 — x在［—1,1］上的单调性. 2 3 例5 :讨论函数f(x) =W 的单调性. 例6 :讨论函数f(x) x -(x 0)的单调性 x 习题：求函数￥ = 斗龙_5的单调区间。 例7:求函数 \+ 4— 3的单调区间。 例8 :设f(x)在定义域内是减函数，且 f(x) >0,在其定义域内判断函数 y = [f(x)] .的单调性 2 (x — 1) x >0 2 例9 :若f(x)= x + 1 xv 0 ，则f(x)的单调增区间是 ________ ,单调减区间是 _________ 例10 :对于任意x>0,不等式x +2x-a >0恒成立，求实数a的取值范围。 2 例ii:若函数F(x)= -皿兀+ 5 -皿|在十°°)上是增函数，在1 _卩一可上是减函数，则实数 m的值为 例12 :若定义在R上的单调减函数f(x)满足i I」 I九 I ,求a的取值范围。 习题：若定义在 丘回上的单调减函数f(x)满足『魚+ -3a)|,求a的取值范围。 针对性训练 2 习题：若函数 仏)-& 叫十―叫在| - 2, + °°)|上是增函数，则实数 m的范围为；
必修一函数的单调性专题讲解(经典)
