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《概率论与数理统计（经管类）》 柳金甫、王义东 主编， 武汉大学出版社新版 第一章 随机事件与概率
第二章 随机变量及其概率分布 第三章 多维随机变量及其概率分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 统计量及其抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验 第九章 回归分析
前言
本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。
第一章 随机事件与概率
本章概述 .
内容简介
本章是概率论的基础部分，所有内容围绕随机事件和概率展开，重点内容包括：随机事件的概念、关系及运算，概率的性质，条件概率与乘法公式，事件的独立性。 本章内容
§1.1 随机事件
1.随机现象：
确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象：
随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；
其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2.随机试验和样本空间 随机试验举例：
E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作作
。
。所有样本点的集合称为样本空间，记
（7）事件的运算性质 故 ①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A； ②（和、积）结合律 （A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）
∩C＝A∩（B∩C）；
③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；例4.P10 例 1－12。
一批产品共有100件，其中3件次品。现从这批产品中接A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
连抽取两次，每次抽取一件，考虑两种情况：
（1）不放回抽样，第一次取一件不放回，第二次再抽取④对偶律 ；.
一件； 例1 习题1.1，5（1）（2）
设A，B为两个随机事件，试利用事件的关系与运算证明： （2）放回抽样，第一次取一件检查后放回，第二次再抽
取一件。
… … (中间部分略)
证明：
完整版21.5页请—— QQ：1273114568 索取
举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于4”则A∪B{1，2，5，6} （3）积事件
概念：称“事件A与事件B同时发生”为事件A与事件B的积事件，或称为事件A与B的交，记作A∩B或AB。 解释：A∩B只表示一种情况，即A与B同时发生。 性质：①＝A。
，
；② 若
，则AB
试分别针对上述两种情况，求事件A“第一次抽到正品，第二次抽到次品”的概率。
解：（1）
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作
（2） 3.概率的定义与性质
（1）定义：设Ω是随机试验E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为
P（A），称P（A）为事件A的概率，如果它满足下列条件： ①P（A）≥0； ②P（Ω）＝1； ③设则有
，
，…，
，…是一列互不相容的事件，
和。
举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点数大于2”则AB＝{3, 4}
.
（2）性质
①，②对于任意事件A，B有
；
；
③
（4）差事件 证明： 概念：称“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件，记作A－B.
；
④. 例5.习题1.2 11
设P（A）=0.7，P（B）=0.6，P（A－B）＝0.3，求
解：（1）P（A－B）＝P（A）－P（AB） ∴P（AB）＝P（A）－P（A－B） ＝0.7－0.3＝0.4
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。 3.随机事件：样本空间
的子集，称为随机事件，简称
的单点子
事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点集{}称为基本事件。 必然事件：一定发生的事件，记作
性质：① A－
；② 若
，则A－B＝
。 例2.习题1.1，6
请用语言描述下列事件的对立事件：
（1）A表示“抛两枚硬币，都出现正面”； 答案：
：“抛两枚硬币，至少有一枚出现反面”。
不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4.随机事件的关系和运算
由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。 （1）事件的包含和相等
包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作或
。
，（2）B表示“生产4个零件，至少有1个合格”。
举例：A：“掷骰子出现的点数小于5”与B：“掷骰子点答案：：“生产4个零件，没有1个是合格的”。
§1.2 概率 数大于2”则A－B＝{1，2}
1.频率与概率 （5）互不相容事件
（1）频数与频率：在相同条件下进行n次试验，事件A
概念：若事件A与事件B不能同时发生，即AB＝，则发生nA次，则称nA为事件A发生的频数；而比值nA/n称
为事件A发生的频率，记作fn（A）. 称事件A与事件B互不相容。
（2）fn（A）的试验特性：随n的增大，fn（A）稳定地趋
推广：n个事件A1，A2，…，An两两互不相容，即AiAj＝，于一个数值，称这个数值为概率，记作P（A）. i≠j，i，j＝1，2，…n。 （3）由频率的性质推出概率的性质 举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点数大于5”则A与B互不相容。 ①推出① （6）对立事件：
②，推出②P（ф）＝0，P（Ω）
概念：称事件“A不发生”为事件A的对立事件，记做.
＝1
解释：事件A与B互为对立事件，满足：①AB＝ф；②A∪B＝Ω ③A，B互不相容，推出③P
（A∪B）=P（A）＝P（B），可推广到有限多个和无限可列多个. 2.古典概型
概念：具有下面两个特点的随机试验的概率模型，称为古典概型：
①基本事件的总数是有限个，或样本空间含有有限个样本点；
②每个基本事件发生的可能性相同。 计算公式：
例6. 习题1.2 13
设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）
性质：
例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则
。
＝，P（AB）＝P（BC）＝，P（AC）＝0。求： （1）A，B，C中至少有一个发生的概率； （2）A，B，C全不发生的概率。 解：
（1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所求概率为
P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）
… … (中间部分略) 完整版21.5页请—— QQ：1273114568 索取
注：与集合包含的区别。
§1.3 条件概率
1.条件概率与乘法公式
条件概率定义：设A，B为两个事件，在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记做P（A|B）. 例7 P13例 1－17. B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或
某工厂有职工400名，其中男女职工各占一半，男女职工A＋B。
中技术优秀的分别为20人与40人，从中任选一名职工，
解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A
试问：
不发生，但B发生，③A与B都发生。
（1）该职工技术优秀的概率是多少？
（2）已知选出的是男职工，他技术优秀的概率是多少？ 性质：①，；②若；
解：设A表示“选出的职工技术优秀”，B表示“选出的 则。 例3.P9 例1－8。 职工为男职工”。按古典概型的计算方法得：
举例：A：“掷骰子出现的点数小于3”与B：“掷骰子点
抛一枚均匀硬币3次，设事件A为“恰有1次出现正面”，
数大于2”则A与B相互对立
B表示“3次均出现正面”，C表示“至少一次出现正
（1） 面”，试求P（A），P（B），P（C）。
性质：①；
解法1 设出现正面用H表示，出现反面用T表示，则样本空间Ω={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT，TTT}，②，； （2） 样本点总数n=8，又因为
计算公式：设AB为两个事件，且P（B）>0，则 ③A－B＝A={TTH，THT，HTT}，B={HHH}， ＝A－AB；
C={HHH，THH，HTH，HHT，TTH，THT，HTT}， 注意：教材第5页的第三条性质有误。
所以A，B，C中样本点数分别为
推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作。 rA=3，rB=1，rc=7，
乘法公式：当P（A）>0时，有P（AB）＝P（A）P（B|A）； 则
当P（B）>0时，有P（AB）＝P（B）P（A|B）. 推广： 和
①设P（AB）>0，则P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB） 3
解法2 抛一枚硬币3次，基本事件总数n=2，事件A包含了3个基本事件：“第i次是正面，其他两次都是反②设，则 面”，i＝1，2，3，而且rA=3。 显然B就是一个基本事件，它包含的基本事件数rB=1
3
④A与B相互对立A与B互不相容. 它包含的基本事件数rC=n-rB=2-1=7，
小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立；
例8 P15例 1－22.
运算：和，积，差，对立. 相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。 （2）和事件
概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件
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盒中有5个白球2个黑球，连续不放回地在其中取3次球，求第三次才取到黑球的概率。
解：设Ai（i=1，2，3）表示“第i次取到黑球”，于是所求概率为
，…，
满足如下两个
=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3 =0.398
2.n重贝努利试验
（1）概念：如果一次试验只有两个结果：事件A发生或不发生，且P（A）＝p（0 6.（411）设事件A， B相互独立，且P（A）=O.2， P（B）为n重贝努利试验。 （2）计算：在n重贝努利试验中，设每次试验事件A发=0.4，则P（A∪B）＝____________。 生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率Ｐn（k）为 答案：0.52 解析：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB） =P（A）+P（B）-P（A）P（B） ，k＝0，1，2，…，n。 事实上，A在指定的k次试验中发生，而在其余n-k次试验中不发生的概率为 7.（414）一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，例题4.P22 【例1－36】一个车间有5台同类型的且独立工作的机器， 假设在任一时刻t，每台机器出故障的概率为0.1，问在由乙厂生产的占，其次品率为10%，从这批产品中随机 取一件，恰好取到次品的概率为___________。 同一时刻 （1）没有机器出故障的概率是多少？ （2）至多有一台机器出故障的概率是多少？ 答案： 解析：设A1表示“甲厂生产”，A2表示“乙厂生产” 解：在同一时刻观察5台机器，它们是否出故障是相互独B：“次品” 立的，故可看做5重贝努利试验，p=0.1，q=0.9。设A0 表示“没有机器出故障”，A1表示“有一台机器出故 障”，B表示“至多有一台机器出故障”，则B=A0∪A1。于是有： （1）所求概率P（A0）=P5（0）= =0.59049； 8.（427）设P（A）＝0.4， P（B）＝0.5， 且P（） （2）所求概率P（B）= P（A0）+ P（A1）=＝0.3， 求P（AB）。 答案：0.05 =P5（0）+=P5（1）= =0.91854。 例题5.P22 【例1－37】转炉炼钢，每一炉钢的合格率为0.7，现有解析： 若干台转炉同时冶炼。若要求至少能够炼出一炉合格钢的 把握为99%，问同时至少要有几台转炉炼钢？ 解：设有n个转炉同时炼钢，各炉是否炼出合格钢是独立 的，可看做n重贝努利试验，p=0.7，q=0.3， {}={全不合格} =0.05 P{至少一炉合格}=1-P{全不合格} =1-Pn（0） n n9.（1014）20件产品中，有2件次品，不放回地从中连续=1-q=1-（0.3）≥0.99 n取两次，每次取一件产品，则第二次取到正品的概率为∴（0.3）≤0.01 __________。 nlg0.3≤-2 n≥4 本章小结： 答案： 一、内容 解析：{第二次取正品}={一次且二正}∪{一正且二正} P{二正}=P{一次且二正}+P{一正且二正} 【例1－34】3门高射炮同时对一架敌机各发一炮，它们的命中率分别为0.1，0.2，0.3，求敌机恰中一弹的概率。 解：设Ai表示“第i门炮击中敌机”，i=1，2，3，B表示“敌机恰中一弹”。 2.全概率公式与贝叶斯公式 （1）划分：设事件条件： ①，，…，＝1，2，…，n； ② 至少有一个发生，则称Ω的一个划分。 ，， 其中， A2，A3相互独立，则 例题12 P17 例1－29 【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？ 解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则 P（A）=0.01，由全概率公式得 ，P（B|A）=0.9， 5.（704）设每次试验成功的概率为p（0 3 A.1－（1－p） 2 B.p（1－p） C. 23 D.p＋p ＋p 互不相容，且A1， 答案：A 互不相容，且，i ，即，，…，为样本空间 ，…， 当，，…，为样本空间Ω的一个划分时，每次试验有且仅有其中一个发生。 =0.01×0.9+0.99×0.55=0.0585 再由贝叶斯公式得 （2）全概公式：设随机试验的样本空间为Ω， ，…， ， §1.4 事件的独立性 1.事件的独立性 （1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。 解释：事件A，B相互独立的含义是：尽管A，B同时发生，事件A发生的概率对事件B发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。 （2）性质：① 设P（A）>0，则A与B相互独立的充分必要条件是证明： ② 若A与B相互独立，则A与互独立。 证明： 只证 证明： 则只需证 =P（B）-P（AB） =P（B）-P（A）P（B） =P（B）[1-P（A）] 从而得证。 例题1.P19 【例1－30】两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率。 解 注意：当0 示“目标被击中”，则C=A∪B。 对任意事件B则有全概公式的最简单形式： P（C）=P（A∪B） =P（A）+P（B）-P（AB） 例9 P15例 1－24 由题意，A，B相互独立 盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次球，∴P（AB）=P（A）P（B） 每次取一个，求第二次取球取到白球的概率。 解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次 取球取到白球”，则 =1-0.1×0.2=0.98 注：A，B相互独立时，概率加法公式可以简化为。 例题2.P19 【例1－31】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。 例10 P16 例1－25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品，解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次它们的产量各占30%，35%，35%，并且在各自的产品中废取球取到白球”，由于是有放回抽取，A与B是相互独立品率分别为5%，4%，3%，求从该厂的这种产品中任取一件的。所求概率为 是废品的概率。 解：设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所P（AB）=P（A）P（B）=×= 生产”，A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙点评： 所生产”，A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影丙所生产”，B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次响。显然，两次抽取是相互独立的。 品”，则 不放回：第一次取到白球概率就是 ，第二次再取到白球 ，B相互独立 ， 与B， 。 与 都相 为样本空间Ω的一个划分，B为任意一 个事件，则. = 第二章 随机变量及其概率分布 二、试题选集 1.（401）设A与B互为对立事件，且P（A）>0，P（B）>0， … … (中间部分略) 则下列各式中错误的是（ ） A.P（A）＝1－P（） B.P（AB）＝P（A）P（B） C.P（）＝1 D.P（A∪B）＝1 答案：B 完整版21.5页请—— QQ：1273114568 索取 2.（402）设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，则 （ ） A.P（AB） B.P（A） C.P（B） D.1 答案：D 的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。 注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。 （3）推广：① 3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足 由全概率公式得 ＝ P（AB）＝P（A）P（B）， P（AC）＝P（A）P（C）， P 30%×5%+35%×4%+35%×3%=3.95% （BC）＝P（B）P（C）， （3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，，P（ABC）＝P（A）P（B）P（C） 则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满，…，为样本空间Ω的一个划分，B为任意一② 足 个事件，且P（B）>0，则 P（AB）＝P（A）P（B）， P（AC）＝P（A）P（C）， P（BC）＝P（B）P（C）， 则称A，B，C两两相互独立。 显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未，必。 i＝1，2，…，n. ③ n个事件相互独立：设A1，A2，…，An为n个事件，若注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算对于任意整数k P（B）； （1≤k≤n）和任意k个整数1≤i1< i2<…ik≤n满足 ②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义. 例题11 P17 例1－28 【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分则称A1，A2，…，An相互独立，简称A1，A2，…，An独立。 别求它是由甲、乙、丙生产的概率。 例题3.P21 解：由贝叶斯公式， 3.（701）从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的概率是（ ） A.50/101 B.51/101 C.50/100 D.51/100 答案：A 4.（702）设事件A，B满足P（A则P（AB）＝（ ） A.0.12 B.0.4 C.0.6 D.0.8 答案：B ）＝0.2，P（A）＝0.6， 精品文档
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