高中数学导数知识总结导数七大题型答题技巧
知识总结
一. 导数概念的引入 1.导数的物理意义：
瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=
处的瞬时变化率是
2.导数的几何意义： 曲线的切线，当点割线的斜率是
趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，
当点k，即
趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=
处的导数就是切线PT的斜率
3.导函数： 当x变化时，
便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f
，即
（x）的导函数有时也记作
。
二. 导数的计算
基本初等函数的导数公式：
导数的运算法则：
复合函数求导 ：
y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
三、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数：
一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内
(1) 如果(2) 如果
＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增； ＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；
2.函数的极值与导数：
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。 求函数y=f(x)的极值的方法有： （1）如果在
附近的左侧
＞0 ，右侧＜0 ，右侧
＜0，那么＞0，那么
是极大值； 是极小值；
（2）如果在附近的左侧
3.函数的最大(小)值与导数：
求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤： （1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；
（2） 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
四.推理与证明
（1）合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；
(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；
(4)一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
（2）演绎推理（俗称三段论）
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。 （3）数学归纳法
1. 它是一个递推的数学论证方法。 2. 步骤：
A. 命题在 n=1（或）时成立，这是递推的基础；
B.假设在 n=k 时命题成立； C. 证明 n=k+1 时命题也成立。
完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n≥立。
证明方法：1、 反证法；2、分析法；3、综合法。 五.导数中的数学思想 数形结合思想
数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法．它为代数问题和几何问题的相互转化架起了桥梁，数形结合重在结合，它们完美的结合，往往能起到事半功倍的效果．数形结合思想贯穿于中学数学的始终，在许多知识板块中都有它的身影．数形结合思想以其直观性、灵活性等特点倍受解题者的衷爱．本文举例说明数形结合的思想在求解导数问题中的灵活运用．
，且n∈N）结论都成
例 已知函数，当时取得极大值，当时
取得极小值，求点对应的区域的面积以及的取值范围．
分析：利用极值的有关知识判断导函数方程的根的范围，再由导函数的图象与相应二次方程的根的关系得到关于
的线性不等关系，点
所对应的区域．第（2）问利用斜率求出
解：函数
的导数为
的取值范围． ，当
时取得极大值，当
内，
时取得极小值，则方程
另一个根在区间（1，2）内．
有两个根，一个根在区间
由二次函数的图象与方程的根的分布之间
的关系可以得到
平面内满足约束条件的点
其中点
，
，
所对应的区域为
（不包括边界，
如右图所示）．
的面积为（为点到轴的距离）
点与点连线的斜率为，显然，即．
整体代换思想
我们在思考问题的时侯，如果能根据题目中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想称之为整体思想．整体思想主要有整体代换、整体求值、整体变形、整体构造等．这种思想若运用巧妙，不仅可以简化运算，而且能够激发学生思维的灵活性．本文仅举一例来说明整体代换思想在求解导数问题时的应用．
例 已知三点．若点
在
和（1）求
的坐标为
是定义在，且
上的函数，其图象交在
和
轴于
上有相同的单调性，
上有相反的单调性． 的值；
的图象上是否存在一点
，使得
在点
的切
（2）在函数线斜率为
？
（3）求的取值范围．
在
和
上有相反的单调性，
解：（1）∵
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