平面向量的线性运算
【学习目标】
1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则,作出几个向量的和、差向量. 2.能结合图形进行向量的计算.
3.能准确表达向量加法的交换律和结合律,并能熟练地进行向量计算. 4.理解实数与向量的积的意义,会利用实数与向量的积的运算律进行计算. 5.掌握向量共线的条件. 【要点梳理】
要点一:向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1.向量加法的概念及三角形法则
uuuruuurrrruuurruuurr已知向量a,b,在平面内任取一点A,作AB?a,BC?b,再作向量AC,则向量AC叫做arrrrruuuruuuruuur与b的和,记作a?b,即a?b?AB?BC?AC.如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则.
2.向量加法的平行四边形法则
rruuurruuurruuuruuur 已知两个不共线向量a,b,作AB?a,AD?b,则A,B,D三点不共线,以AB,AD为邻边
uuurrr作平行四边形ABCD,则对角线AC?a?b.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
rrrrrr对于零向量与任一向量a,我们规定a?0?0?a?a. 要点诠释:
两个向量的和与差仍是一个向量,可用平行四边形或三角形法则进行运算,但要注意向量的起点与终点.
要点二:向量求和的多边形法则及加法运算律
1.向量求和的多边形法则的概念
已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.
uuuuruuuuruuuuruuuuuurA1An?A1A2?A2A3?????An?1An
uuuuruuuuruuuuuuruuuurr特别地,当A1与An重合,即一个图形为封闭图形时,有A1A2?A2A3?????An?1An?AnA1?0 2.向量加法的运算律
rrrr(1)交换律:a?b?b?a;
rrrrrr(2)结合律:(a?b)?c?a?(b?c)
要点三:向量的三角形不等式 由向量的三角形法则,可以得到
rrrruurra,b|a?b|?|a|?|b|; (1)当不共线时,
rrrrrrrruurr(2)当a,b同向且共线时,a?b,a,b同向,则|a?b|?|a|?|b|;
rrrrruurrrruurruurr(3) 当a,b反向且共线时,若|a|?|b|,则a?b与a同向,|a?b|?|a|?|b|;若|a|?|b|,则rrrrruurra?b与b同向,|a?b|?|b|?|a|.
要点四:向量的减法
1.向量的减法
rrrrrrrr(1)如果b?x?a,则向量x叫做a与b的差,记作a?b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.此定义是向量加法的逆运算给出的.
rr相反向量:与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量.
rrrrrrrr(2)向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差,即a?b?a?(?b).求两个向量差的运算,
叫做向量的减法,此定义是利用相反向量给出的,其实质就是把向量减法化为向量加法.
要点诠释:
(1)两种方法给出的定义其实质是一样的.
rrrrrrrrrr(2)对于相反向量有a?(?a)?0;若a,b互为相反向量,则a??b,a?b?0. (3)两个向量的差仍是一个向量.
2.向量减法的作图方法
rruuurrruuuruuuruuurruuurruuur(1)已知向量a,b(如图),作OA?a,OB?b,则BA?a?b=OA?OB,即向量BA等于
uuuruuur终点向量(OA)减去起点向量(OB).利用此方法作图时,把两个向量的始点放在一起,则
这两个向量的差是以减向量的终点为始点的,被减向量的终点为终点的向量.
rr(2)利用相反向量作图,通过向量加法的平行四边形法则作出a?b.作uuurruuurruuurruuurrrOA?a,OB?b,AC??b,则OC?a?(?b),如图.由图可知,一个向量减去另一个向量等于
加上这个向量的相反向量.
要点五:数乘向量 1.向量数乘的定义
?r实数与向量的积:实数?与向量a的积是一个向量,记作:?a
rr(1)|?a|?|?||a|;
??(2)①当??0时,?a的方向与a的方向相同;
??②当??0时.?a的方向与a的方向相反;
??③当??0时,?a?0. 2.向量数乘的几何意义
??r由实数与向量积的定义知,实数与向量的积?a的几何意义是:?a可以由a同向或反向伸r缩得到.当|?|?1时,表示向量a的有向线段在原方向(??0)或反方向(??0)上伸长为
?r原来的|?|倍得到?a;当0?|?|?1时,表示向量a的有向线段在原方向(??0)或反方向??r?rr(??0)上缩短为原来的|?|倍得到?a;当??1时,?a=a;当???1时,?a=-a,与a互?r?为相反向量;当??0时,?a=0.实数与向量的积得几何意义也是求作向量?a的作法.
3.向量数乘的运算律
设?、?为实数
rr结合律:?(?a)?(??)a;
???????分配律:(???)a??a??a,?(a?b)??a??b
要点六:向量共线的条件
1.向量共线的条件
rrrr(1)当向量a?0时,a与任一向量b共线.
rrrrr(2)当向量a?0时,对于向量b.如果有一个实数?,使b??a,那么由实数与向量的
rr积的定义知b与a共线.
rrrrrrrr反之,已知向量b与a(a?0)共线且向量b的长度是向量a的长度的?倍,即|b|??|a|,
rrrrrrrr那么当b与a同向时,b??a;当b与a反向时,b???a.
2.向量共线的判定定理
rrr??a是一个非零向量,若存在一个实数?,使b??a,则向量b与非零向量a共线. 3.向量共线的性质定理
rrr?若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数?,使b??a. 要点诠释:
rr?(1)两个向量定理中向量a均为非零向量,即两定理均不包括0与0共线的情况;
rrrrrrrrrr(2)a?0是必要条件,否则a?0,b?0时,虽然b与a共线但不存在?使b??a; rr(3)有且只有一个实数?,使b??a.
rrrrrr(4)a//b?a??b(b?0)是判定两个向量共线的重要依据,其本质是位置关系与数量关
系的相互转化,体现了数形结合的高度统一.
【典型例题】
类型一:向量加法的几何运算
例1.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向
uuuruuuruuuruuuruuuruuur(1)OA?OC;(2)BC?FE;(3)OA?FE.
量:
uuuruuuruuur【解析】(1)由图知,OABC为平行四边形,∴OA?OC?OB uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur(2)由图知BC?FE?OD?AO,∴BC?FE?AO?OD?AD. uuuruuuruuuruuuruuuruuur(3)∵OD?FE,∴OA?FE?OA?OD.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur又OA?DO,∴OA?FE?DO?OD?0.
【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量,注意当两个向量共线时,三角形法则仍适用,而平行四边形法则不适用.
举一反三:
【变式1】在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延
uuuruuuruuur长线与CD交于点F.若AC?a,BD?b,则AF?( )
11211112A.a?b B.a?b C.a?b D.a?b
42332433 【答案】B
类型二:向量减法的几何运算
例2.如图,解答下列各题:
rurrrruuuruuur(1)用a,d,e表示DB;(2)用b,c表示DB;
rrruuururruuur(3)用a,b,e表示EC;(4)用d,c表示EC. urrrrrrrrrur【答案】(1)d?e?a(2)?b?c (3)a?b?e (4)?c?d uuurruuurruuurruuururuuurr【解析】 ∵AB?a,BC?b,CD?c,DE?d,EA?e, uuuruuuruuuruuururrr∴(1)DB?DE?EA?AB?d?e?a. uuuruuuruuuruuuruuurrr(2)DB?CB?CD??BC?CD??b?c. uuuruuuruuuruuurrrr(3)EC?EA?AB?BC?a?b?e. uuuruuuruuuruuurrur(4)EC??CE??(CD?DE)??c?d.
ruuuruuu【总结升华】在本题中,我们看到DB,EC这两个向量的表示并不唯一.在解决这类问
题时,要注意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用.当运用三角形法则时,要注意两向量首尾相接,当两个向量起点相同时,可以考虑用减法.
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