平面向量的线性运算
【学习目标】
1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2．能结合图形进行向量的计算．
3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算． 4．理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算． 5．掌握向量共线的条件． 【要点梳理】
要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则
1.向量加法的概念及三角形法则
uuuruuurrrruuurruuurr已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB?a,BC?b，再作向量AC，则向量AC叫做arrrrruuuruuuruuur与b的和，记作a?b，即a?b?AB?BC?AC．如图
本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则．
2．向量加法的平行四边形法则
rruuurruuurruuuruuur 已知两个不共线向量a,b，作AB?a,AD?b，则A,B,D三点不共线，以AB,AD为邻边
uuurrr作平行四边形ABCD，则对角线AC?a?b．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
rrrrrr对于零向量与任一向量a，我们规定a?0?0?a?a． 要点诠释：
两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律
1.向量求和的多边形法则的概念
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
uuuuruuuuruuuuruuuuuurA1An?A1A2?A2A3?????An?1An
uuuuruuuuruuuuuuruuuurr特别地，当A1与An重合，即一个图形为封闭图形时，有A1A2?A2A3?????An?1An?AnA1?0 2．向量加法的运算律
rrrr（1）交换律：a?b?b?a；
rrrrrr（2）结合律：(a?b)?c?a?(b?c)
要点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到
rrrruurra,b|a?b|?|a|?|b|； (1)当不共线时，
rrrrrrrruurr(2)当a,b同向且共线时，a?b,a,b同向，则|a?b|?|a|?|b|；
rrrrruurrrruurruurr(3) 当a,b反向且共线时，若|a|?|b|，则a?b与a同向，|a?b|?|a|?|b|；若|a|?|b|，则rrrrruurra?b与b同向，|a?b|?|b|?|a|．
要点四：向量的减法
1．向量的减法
rrrrrrrr（1）如果b?x?a，则向量x叫做a与b的差，记作a?b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．此定义是向量加法的逆运算给出的．
rr相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量．
rrrrrrrr（2）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a?b?a?(?b)．求两个向量差的运算，
叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法．
要点诠释：
（1）两种方法给出的定义其实质是一样的．
rrrrrrrrrr（2）对于相反向量有a?(?a)?0；若a，b互为相反向量，则a??b,a?b?0． （3）两个向量的差仍是一个向量．
2．向量减法的作图方法
rruuurrruuuruuuruuurruuurruuur（1）已知向量a，b（如图），作OA?a,OB?b，则BA?a?b=OA?OB,即向量BA等于
uuuruuur终点向量（OA）减去起点向量（OB）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则
这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量．
rr（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出a?b．作uuurruuurruuurruuurrrOA?a,OB?b,AC??b，则OC?a?(?b)，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于
加上这个向量的相反向量．
要点五：数乘向量 1.向量数乘的定义
?r实数与向量的积：实数?与向量a的积是一个向量，记作：?a
rr(1)|?a|?|?||a|；
??(2)①当??0时，?a的方向与a的方向相同；
??②当??0时.?a的方向与a的方向相反；
??③当??0时，?a?0. 2．向量数乘的几何意义
??r由实数与向量积的定义知，实数与向量的积?a的几何意义是：?a可以由a同向或反向伸r缩得到．当|?|?1时，表示向量a的有向线段在原方向（??0）或反方向（??0）上伸长为
?r原来的|?|倍得到?a；当0?|?|?1时，表示向量a的有向线段在原方向（??0）或反方向??r?rr（??0）上缩短为原来的|?|倍得到?a；当??1时，?a=a；当???1时，?a=-a，与a互?r?为相反向量；当??0时，?a=0．实数与向量的积得几何意义也是求作向量?a的作法．
3.向量数乘的运算律
设?、?为实数
rr结合律：?(?a)?(??)a；
???????分配律：(???)a??a??a，?(a?b)??a??b
要点六：向量共线的条件
1．向量共线的条件
rrrr（1）当向量a?0时，a与任一向量b共线．
rrrrr（2）当向量a?0时，对于向量b．如果有一个实数?，使b??a，那么由实数与向量的
rr积的定义知b与a共线．
rrrrrrrr反之，已知向量b与a（a?0）共线且向量b的长度是向量a的长度的?倍，即|b|??|a|，
rrrrrrrr那么当b与a同向时，b??a；当b与a反向时，b???a．
2．向量共线的判定定理
rrr??a是一个非零向量，若存在一个实数?，使b??a，则向量b与非零向量a共线． 3．向量共线的性质定理
rrr?若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数?，使b??a． 要点诠释：
rr?（1）两个向量定理中向量a均为非零向量，即两定理均不包括0与0共线的情况；
rrrrrrrrrr（2）a?0是必要条件，否则a?0，b?0时，虽然b与a共线但不存在?使b??a； rr（3）有且只有一个实数?，使b??a．
rrrrrr（4）a//b?a??b(b?0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关
系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
【典型例题】
类型一：向量加法的几何运算
例1．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向
uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）OA?OC；（2）BC?FE；（3）OA?FE．
量：
uuuruuuruuur【解析】（1）由图知，OABC为平行四边形，∴OA?OC?OB uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）由图知BC?FE?OD?AO，∴BC?FE?AO?OD?AD． uuuruuuruuuruuuruuuruuur（3）∵OD?FE，∴OA?FE?OA?OD．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur又OA?DO，∴OA?FE?DO?OD?0．
【总结升华】利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求两个向量的和向量，注意当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用．
举一反三：
【变式1】在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延
uuuruuuruuur长线与CD交于点F．若AC?a，BD?b，则AF?（ ）
11211112A．a?b B．a?b C．a?b D．a?b
42332433 【答案】B
类型二：向量减法的几何运算
例2．如图，解答下列各题：
rurrrruuuruuur（1）用a，d，e表示DB；（2）用b，c表示DB；
rrruuururruuur（3）用a，b，e表示EC；（4）用d，c表示EC． urrrrrrrrrur【答案】（1）d?e?a（2）?b?c (3)a?b?e （4）?c?d uuurruuurruuurruuururuuurr【解析】 ∵AB?a，BC?b，CD?c，DE?d，EA?e， uuuruuuruuuruuururrr∴（1）DB?DE?EA?AB?d?e?a． uuuruuuruuuruuuruuurrr（2）DB?CB?CD??BC?CD??b?c． uuuruuuruuuruuurrrr（3）EC?EA?AB?BC?a?b?e． uuuruuuruuuruuurrur（4）EC??CE??(CD?DE)??c?d．
ruuuruuu【总结升华】在本题中，我们看到DB，EC这两个向量的表示并不唯一．在解决这类问
题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用．当运用三角形法则时，要注意两向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法．
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