1.4.2 微积分基本定理(二)
一、基础过关
1．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是
( )
cbccb
A．?caf(x)dx B．|?af(x)dx| C．?af(x)dx＋?bf(x)dx D．?bf(x)dx－?af(x)dx
1
2．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为
xA．ln 2
B．ln 2－1 C．1＋ln 2
( )
D．2ln 2
( )
3．曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于
3
A．?1－1(x－x)dx
1313
B．?－1(x－x)dx C．2?0(x－x)dx 3
D．2?0－1(x－x)dx
4．曲线y＝x2－1与x轴所围成图形的面积等于 1
A. 3
( )
2
B. C．1
34
D. 3
5．由曲线y＝x与y＝x3所围成的图形的面积可用定积分表示为________． 1
6．由y＝x2，y＝x2及x＝1围成的图形的面积S＝________.
4二、能力提升
2??x， x∈[0，1]，2
7．设f(x)＝?则?0f(x)dx等于
??2－x， x∈?1，2]，
( )
3
A. 4
45B. C. 56
D．不存在
( )
2
8．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是，则c等于
31A. 3
1
B. C．1 2
2D. 3
9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
10．求曲线y＝6－x和y＝8x，x＝0围成图形的面积．
11．求曲线y＝x2－1(x≥0), 直线x＝0，x＝2及x轴围成的封闭图形的面积．
12．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2. (1)当S1＝S2时，求点P的坐标；(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．
三、探究与拓展
4
13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0围成的平面图形的面积为，求a的值．
3
1 / 2
答案
113
1．D 2．A 3．C 4．D 5．?10(x－x)dx 6. 7．C 8．B 9. 43
10．解 作出直线y＝6－x，曲线y＝8x的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
?y＝6－x解方程组?得直线y＝6－x与曲线y＝8x交点的坐标为(2,4)，直线y＝6－x与x轴
?y＝8x
2321266
的交点坐标为(6,0)．因此，所求图形的面积S＝S1＋S2＝?28xdx＋?(6－x)dx＝8×x|＋(6x－x)| 02
3202416111640
＝＋[(6×6－×62)－(6×2－×22)]＝＋8＝. 3223311．解 如图所示，所求面积：
13132122212S＝?20|x－1|dx＝－?0(x－1)dx＋?1(x－1)dx＝－(x－x)|0＋(x－x)|1 33181
＝1－＋－2－＋1＝2.
333
112．解 (1)设点P的横坐标为t(0 681344162 S2＝?2)． t(x－tx)dx＝－2t＋t.因为S1＝S2，所以t＝，点P的坐标为(，36339 18118 (2)S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3＝t3－2t＋，S′＝t2－2，令S′＝0得t2－2＝0.∵0 63633因为0 3313．解 作出y＝x2－2x的图象如图． (1)当a<0 1320a32402 时，S＝?a(x－2x)dx＝(x－x)|a＝－＋a＝，∴(a＋1)(a－2)2＝0.∵a<0，∴a＝－1. 3 3 3 114aa2 (2)当a>0时，①若0 333∵a>0，∴a＝2.②当a>2时，不合题意．综上a＝－1，或a＝2. 2 / 2
微积分基本定理(二)教师版
