高中数学必修1知识点总结
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 |x|?a(a?0) |x|?a(a?0) {x|?a?x?a} x|x??a或x?a} 把ax?b看成一个整体，化成|x|?a，|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0) （2）一元二次不等式的解法 判别式 |x|?a(a?0)型不等式来求解 ??b2?4ac 二次函数??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c(a?0)的图象 一元二次方程O ax2?bx?c?0(a?0)的根 ?b?b2?4acx1,2?2a（其中x1?x2??x1?x2) {x|b2a 无实根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 {x|x?x1或x?x2} x??b}2a R ax2?bx?c?0(a?0)的解集 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念
{x|x1?x?x2} ? ? ①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么f:A?B叫做集合A到B的一个函数，记作．y?f(x),x?A ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法
①设a,b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a?x?b的
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实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，
,),x?,a?x,b?的x实b数分别记做[ab，(a,b]；满足x?ax的集合分别记做
[a?,?)a,(?,?)?,b?(,．?b] ?注意：对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a?b． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数．
②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤y?tanx中，
x?k???2(k?Z)．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a?g(x)?b解出．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不
同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 【1.2.2】函数的表示法 （5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 2
性 质 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时，都有f(x1)
y?f[g(x)]，令u?g(x)，若y?f(u)为增，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为增；若
y?f(u)为减，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为增；若y?f(u)为增，u?g(x)为减，则y?f[g(x)]为
减；若
y?f(u)为减，u?g(x)为增，则y?f[g(x)]为减．
y （2）打“√”函数
af(x)?x?(a?0)的图象与性质
x f(x)分别在(??,?a]、[a,??)上为增函数，分别在[?a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数
y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x?I，都o 有x f(x)?M；
（2）存在x0?I，使得f(x0)?M．那么，我们称M是函数
f(x)的最大值，记作fm(x)a?Mx．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 3
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函数f(x)叫做奇函．．．．．．数． ．函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函数f(x)叫做偶函数． ．．． （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y轴对称） ②若函数
f(x)为奇函数，且在x?0处有定义，则f(0)?0．
y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．
③奇函数在
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换
h?0,左移h个单位k?0,上移k个单位y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)????????y?f(x)?k
h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位②伸缩变换
0???1,伸y?f(x)?????y?f(?x)
??1,缩0?A?1,缩y?f(x)?????y?Af(x)
A?1,伸③对称变换
y轴x轴y?f(x)????y??f(x) y?f(x)????y?f(?x)
直线y?x原点y?f(x)????y??f(?x) y?f(x)?????y?f?1(x) 去掉y轴左边图象y?f(x)????????????????y?f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留x轴上方图象y?f(x)??????????y?|f(x)|
将x轴下方图象翻折上去
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函数的定义及性质专题复习
一、求函数的定义域
1、求下列函数的定义域： ⑴y?x2?2x?151 ⑵y??x?4 ⑶f(x)?1?x?x?3?1．
x?3?3x（4）y?x?2?x?5； （5）y?x?4.
|x|?522、设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的定义域为_ _ _；函数f(x?2)的定义域为________；
3、若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是 ；函数f(?2)的定义域为 。 二、求函数的值域
5、求下列函数的值域：
⑴y?x2?2x?3 (x?R) ⑵y?x2?2x?3 x?[1,2] 三、求函数的解析式
1、 已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数f(x)，f(2x?1)的解析式。 2、已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。
3、设f(x)是R上的奇函数，且当x?[0,??)时，f(x)?x(1?x)，则当x?(??,0)时f(x)=____ _ f(x)在R上的解析式为 四、求函数的单调区间
7.已知函数f(x)?x2?2x，g(x)?x2?2x(x?[2,4]).
（1）求f(x)，g(x)的单调区间； （2）求f(x)，g(x)的最小值. 五、判断函数的奇偶性
（1）f(x)?2x?3x； （2）f(x)?x?2x
4231xx2?12（3）f(x)?； （4）f(x)?x?1.
x六、综合题 一、选择题： 1、若f(x)?x?1，则f(3)? （ ）
A、2 B、4 C、22 D、10 2、函数
y?2x?1的定义域是（ ）
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函数的定义及性质专题复习
