★★(22)
xdx?x8?1
思路:裂项分项后分别凑微分即可。 解：
xdxxdx111111??(?)xdx?(?)dx2 44?x8?1?(x4?1)(x4?1)?2x4?1x4?1?4x?1x?11111111122[(?)?]dx?[d(x?1)?d(x2?1)]22422???42x?1x?1x?18x?1x?1 2111x?11??22dx2?ln|2|?arctanx2?C.4(x)?18x?14?★(23)
3cos?xdx
思路:凑微分。cosxdx?dsinx。
解：cosxdx?cosx?cosxdx?cosxdsinx?(1?sinx)dsinx
?3?2?2?21?sinx?sin3x?C
3★★(24)
2cos?(?t??)dt
思路:降幂后分项凑微分。 解：cos(?t??)dt??21?cos2(?t??)11dt?dt???24??cos2(?t??)d2(?t??)
2?11t?sin2(?t??)?C 24?★★★(25)
?sin2xcos3xdx
111(sin5x?sinx)dx?sin5xd5x?sinxdx ?2??102思路:积化和差后分项凑微分。 解：sin2xcos3xdx????11cos5x?cosx?C 102★★★(26)
?sin5xsin7xdx
111(cos2x?cos12x)dx?cos2xd2x?cos12xd(12x) ?2??424思路:积化和差后分项凑微分。 解：sin5xsin7xdx??11?sin2x?sin12x?C. 424★★★(27)
?tan33xsecxdx
思路:凑微分tanxsecxdx?dsecx。
解：tanxsecxdx?tanx?tanxsecxdx?tanxdsecx?(secx?1)dsecx
??2?2?2 11
1??sec2xdsecx??dsecx?sec3x?secx?C
3★★(28)
?10arccosx1?x2dx
思路:凑微分11?x2dx?d(?arccosx)。
解：
?10arccosx1?x2dx???10arccosx10arccosxdarccosx???C.
ln10★★(29)
?(arcsinx)11?x2dx21?x2
思路:凑微分dx?d(arcsinx)。
解：
?(arcsinx)?dx21?x2??darcsinx1???C 2arcsinx(arcsinx)★★★★(30)
arctanxx(1?x)dx
2arctanx1?(x)2思路:凑微分arctanxx(1?x)dx?dx?2arctanxd(arctanx)。
解：
?arctanxx(1?x)dx??2arctanx1?(x)2dx??2arctanxd(arctanx)
?(arctanx)2?C
★★★★(31)
lntanx?cosxsinxdx
2思路:被积函数中间变量为tanx，故须在微分中凑出tanx，即被积函数中凑出secx，
lntanxlntanxlntanx2lntanxdx?dx?secxdx?dtanx 2cosxsinxtanxtanxcosxtanx1?lntanxd(lntanx)?d((lntanx)2)
2lntanxlntanxlntanxdx??dx?解：??tanxdtanx??lntanxd(lntanx) cosxsinxcos2xtanx1?(lntanx)2?C 2 12
★★★★(32)
1?lnx?(xlnx)2dx
思路:d(xlnx)?(1?lnx)dx
解：
1?lnx11dx?d(xlnx)???C ?(xlnx)2?(xlnx)2xlnx★★★★(33)
dx?1?ex
解：方法一：
思路:将被积函数的分子分母同时除以 ex，则凑微分易得。
dxe?x11?x?x?x?dx??d(e)??d(e?1)??ln|e?1|?C ?1?ex?e?x?1?e?x?1?e?x?1方法二：
思路:分项后凑微分
dx1?ex?exex1x?dx?1dx?dx?x?d(1?e) ?1?ex?1?ex??1?ex?1?ex ?x?ln|1?exxx|?C?x?lne(?xe|?1|?C )e?lne|? ?x?(ln方法三：
?x?1C|)??lne|?x?1?|C
思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 e，裂项后凑微分。
xdxexdxdex1?x1?1xx????de?lne?d(1?e) ?xxxxxxx?x?????1?ee(1?e)e(1?e)1?e?e1?e? ?x?ln|1?e|?C??ln|e★★★★(34)
x?x?1|?C
dx?x(x6?4)
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
dx14dx1x6?4?x6dx1?1x5??6?dx ?x(x6?4)?4?x(x6?4)?4?x(x6?4)?4??xx?4??11d(x6?4)11?ln|x|?ln|x6?4|?C ?ln|x|?6?424x?4424 13
方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。 令x?，则dx??1t1dt。 2tdxt11d(4t6)1d(4t6?1)?????(?2)dt??????66124241?4t6x(x?4)t1?4t?4 t6114??ln(1?4t6)?C??ln(1?6)?C.2424x★★★★(35)
dx?x8(1?x2)
解：方法一:
思路：分项后凑积分。
dx1?x8?x8(1?x2)(1?x2)(1?x4)dx?dx?dx??x8(1?x2)?x8(1?x2)??1?x2 x8(1?x2)1?x2?x4?x6dxdx? ???(1?x)(1?x) x8 ?( ???11111 ???)dx?2?1?xdxx8x6x4x211111?1x????ln?C 7537x5x3xx21?x方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。 令x?11，则dx??2dt。 ttdxt81t81642??8??(?dt)??dt??(t?t?t?1?)dt ?t2?1?1x(1?x2)?t2t2?11?2t1111642)dt??(t?t?t?1)dt?(?)dt?2?t?1t?1t2?11111t?1111111111?x??t7?t5?t3?t?ln||?C??????ln||?C7532t?17x75x53x3x21?x???(t6?t4?t2?1)dt??(3、求下列不定积分。
知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。
思路分析：题目特征是----被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等
式起到了重要的作用。
sin2x?cos2x?1;sec2x?tan2x?1.
为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角
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范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。
★★★(1)
?1?dx1?x2
思路:令x?sint,t?解：令x?sint,t??2，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。
，则dx?costdt。 2dxcostdtdtdttt??????dt???t???t??sec2d
t1?cost1?cost221?1?x22cos22?1?1?x2tx?C） ?t?tan?C?arcsinx??C.（或?arcsinx?2x21?1?x（万能公式tantsint1?cost，又sint?x时，cost?1?x2） ??21?costsint★★★(2)
?x2?9dx x思路:令x?3sect,t?(0,解：令x?3sect,t?(0,?2)，三角换元。
?)，则dx?3secttantdt。 2x2?93tant??dx??3secttantdt?3?tan2tdt?3?(sec2t?1)dtx3sect
3?3tant?3t?C?x2?9?3arccos?C.|x|3 （x?3secx时，cosx?,sinx?x★★★(3)
x2?9,tanx?xx2?9） 3?dx(x?1)23
思路:令x?tant,t?解：令x?tant,t??22，三角换元。
2?，则dx?sectdt。
??sec2tdtdtx????costdt?sint?C??C 3??232sectsect(x?1)1?xdx★★★(4)
?dx(x?a)223
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高等数学上册习题答案吴赣昌人民大学出版社高数理工类
