高考数学压轴题冲关系列2

压轴题冲关系列(二)

(时间：45分钟 分数：60分)

1．(12分)(2015·湖南怀化一模)已知函数f(x)＝ln x－mx＋m，m∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≤0在x∈(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； f?b?－f?a?1(3)在(2)的条件下，任意的0＜a＜b，求证：<.

b－aa?1＋a?1－mx1

解：(1)f′(x)＝x－m＝x(x∈(0，＋∞))，

当m≤0时，f′(x)＞0恒成立，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

1－mx1

当m＞0时，由f′(x)＝x－m＝x>0，

1?1????1???????上单调递0，0，，＋∞则x∈则f(x)在在mm?，m?上单调递增，????减．

(2)由(1)，得当m≤0时显然不成立；

?1?1

??当m＞0时，f(x)max＝fm＝ln m－1＋m＝m－ln m－1， ??

只需m－ln m－1≤0，

1

即令g(x)＝x－ln x－1，则g′(x)＝1－x，

函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g(x)min＝g(1)＝0.

则若f(x)≤0在x∈(0，＋∞)上恒成立，m＝1. f?b?－f?a?ln b－ln a＋a－bln b－ln a(3)＝＝－1

b－ab－ab－a