考点规范练31 等比数列及其前n项和
考点规范练A册第20页
基础巩固
1.在正项等比数列{an}中,a2,a48是方程2x-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( ) A.2 答案:B
解析:∵a2,a48是方程2x-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3. 又a1·a49=a2·a48=??225=3,a25>0, ∴a1·a2·a25·a48·a49=??525=9√3.故选B.
2.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起 ,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√2.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√2f 答案:D
解析:由题知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为√2的等比数列,则第八个单音的频率为
12
(√2)f=√27f.
12
3
12
2
2
21
B.9√3 C.±9√3 D.3
5
B.√22f
3
C.√25f
12
D.√27f
12
7
12
3.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( ) A.7 答案:D
解析:∵{an}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8. 联立{当{当{
B.5
C.-5
D.-7
??4+??7=2,??=4,??=-2,
可解得{4或{4
??4??7=-8,??7=-2??7=4,
??4=4,1??3
时,q=-2,故a1+a10=??4+a7q3=-7; 3??7=-2
??4=-2,??3
时,q=-2,故a1+a10=??4+a7q3=-7. 3??7=4
1
综上可知,a1+a10=-7.
4.(2019云南玉溪五调)已知正项等比数列{an}满足a3=1,a5与2a4的等差中项为2,则a1的值为( ) A.4 答案:A
解析:设等比数列{an}的公比为q,则q>0.由题意,得a5+2a4=1,a3q+2a3q=1,q+2q=1,2q+3q-2=0,解得
3
2
31
B.2
C.2
1
D.4 1
3
2
3
2
q=2或q=-2(舍去),故a1=??3
2=4.
5.等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( ) A.-24 答案:A
解析:设等差数列的公差为d,则d≠0,??23=a2·a6,即(1+2d)=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以
2
1??B.-3 C.3 D.8
S6=6×1+6×52
×(-2)=-24,故选A.
6.(2019广西崇左天等高级中学高三模拟)已知数列{an}为等比数列,首项a1=2,数列{bn}满足
bn=log2an,且b2+b3+b4=9,则a5=( )
A.8 答案:C
解析:由题意知{bn}为等差数列,因为b2+b3+b4=9,所以b3=3,因为b1=1,所以公差d=1,则bn=n,即
B.16
C.32
D.64
n=log2an,故an=2n,于是a5=25=32.
7.设数列{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为 . 答案:- 21
解析:由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+2
4×32
×(-1)=4a1-6.
1
∵S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-2. 8.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则??2= .
2
?? 2
答案:1
解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 由题意知-1+3d=-q=8, -1+3??=8,??=3, 即{3解得{
??=-2.-??=8,故??2=-1×(-2)=1.
2
3
??-1+3
9.(2019广西桂林、崇左联合模拟)已知数列{an}满足an=2an-1+1(n≥2),a4=15. (1)求a1,a2,a3;
(2)判断数列{an+1}是否为等比数列,并说明理由; (3)求数列{an}的前n项和Sn.
解:(1)由an=2an-1+1及a4=15知a4=2a3+1, 解得a3=7,同理得a2=3,a1=1.
(2)由an=2an-1+1知an+1=2an-1+2,即an+1=2(an-1+1), 故{an+1}是以a1+1=2为首项,公比为2的等比数列. (3)∵an+1=(a1+1)·2,∴an=2-1.
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=(2-1)+(2-1)+(2-1)+…+(2-1)=(2+2+2+…+2)-n=13
1
2
3
n-1nn123n2(1-2??)1-2
-n=2n+1-2-n.
10.已知{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn. (1)求{an}的通项公式; (2)求{bn}的前n项和.
解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=3,得a1=2.
所以数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1. (2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=记{bn}的前n项和为Sn,则Sn=????31
,因此{bn}是首项为1,公比为3的等比数列.
3
12×3??-11
1-()1??311-3
=2?
.
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4(a3+1),3a3=5a4,数列{bn}是等比数列,且b1b2=b3,2b1=a5.
3
(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d. ∵S4=4(a3+1),3a3=5a4,
4??+6??=4(??1+2??+1),??=9,∴{1解得{1 3??1+6??=5??1+15??,??=-2.∴an=11-2n.
设数列{bn}的公比为q.∵b1b2=b3,2b1=a5,
∴
??2??{1
1??=??1??,
解得{∴b=(). n122??1=1,??=.
2
2
2
??1=2,
1
(2)由(1)知,Sn=10n-n. 由an=11-2n≤0可知n≥5.5,
即a1>0,a2>0,…,a5>0,a6<0,a7<0,…,an<0. 故当n≤5时,Tn=Sn=10n-n; 当n≥6时,Tn=2S5-Sn=n-10n+50. 10??-??2,??≤5,
于是Tn={2
??-10??+50,??≥6.
能力提升
12.若a,b是函数f(x)=x-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于( ) A.6 答案:D
解析:∵a,b是函数f(x)=x-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q. ∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.
2??=??-2,
又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,∴{①或
????=42??=??-2,{②. ????=4
222
2
B.7 C.8 D.9
4
解①得{
??=4,??=1,
解②得{
??=1;??=4.
∴p=a+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故选D.
13.如图,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形的腰上再连接正方形,……如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某“勾股树”含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小的正方形的边长为 .
√22
答案:32 解析:由题意,得各正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列.已知共得到1023个正方形,则1+2+…+2=1023,解得
n-1
1
√22√22
9
√2√2n=10,故最小的正方形的边长为2×(2)
=.
32
1
14.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为 . 答案:64
解析:设{an}的公比为q. 由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5, 两式相除得
1
??1+??3??(??1+??3)
=, 5
n10
解得q=2,a1=8,所以a1a2…an=8·(2)
7212
11+2+…+(??-1)
=2-2??1
2+7??2
,抛物线f(n)=-2n+2n的对称轴为n=-1
2
7
2×(-)
=3.5,
*又n∈N,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为2-2×3
1
27×3+2
=26=64.
15.已知等比数列{an}与等差数列{bn},a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列. (1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值. 解:(1)设数列{an}的公比为q,数列{bn}的公差为d,
5
2021高考数学大一轮复习考点规范练31等比数列及其前n项和理新人教A版
