§3.1直线的倾斜角与斜率
学习目标 1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题. 学习过程 一、课前准备
（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处） 复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?
复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?
二、新课导学
※ 学习探究
新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角?叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.
关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
试试：请描出下列各直线的倾斜角.
反思：直线倾斜角的范围？
1
探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？
新知2：一条直线的倾斜角?(???2)的正切值叫做
这条直线的斜率(slope).记为k?tan?.
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为 ⑴当??0o时，则k ； ⑵当0o???90o时，则k ； ⑶当??90o时，则k ； ⑷当900???180o时，则k .
新知3：已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1?x2)的直线的斜率公式：k?y2?y1x.
2?x1探究任务三：
1.已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2),运用上述公式计算直线的斜率时，与A,B两点坐标的顺序有关吗？
2．当直线平行于y轴时，或与y轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？
※ 典型例题
例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率： ⑴??30?； ⑵??135?； ⑶??60?； ⑷??90?
变式：已知直线的斜率，求其倾斜角. ⑴k?0； ⑵k?1； ⑶k??3； ⑷k不存在.
例2 求经过两点A(2,3),B(4,7)的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.
范围 ※ 动手试试
练1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴A(2,3),B(?1,4)； ⑵A(5,0),B(4,?2).
练2．画出斜率为0,1,?1且经过点(1,0)的直线.
练3．判断A(?2,12),B(1,3),C(4,?6)三点的位置关系，并说明理由.
三、总结提升
学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列叙述中不正确的是（ ）.
A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o或90? D．若直线的倾斜角为?，则直线的斜率为tan? 2. 经过A(?2,0),B(?5,3)两点的直线的倾斜角（ ）.
A．45? B．135? C．90? D．60? 3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4. 直线经过二、三、四象限，l的倾斜角为?，斜率为k，则?为 角；k的取值范围 . 5． 已知直线l1的倾斜角为?1，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角?2为________. 课后作业 1. 已知点A(2,3),B(?3,?2)，若直线l过点P(1,1) 且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围.
※ 学习小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角
11的范围是[0,180?). 2. 已知直线l过A(?2,(t?)2),B(2,(t?)2)两点，求tt2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵
此直线的斜率和倾斜角. 利用直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的坐标来求；⑶
当直线的倾斜角??90?时，直线的斜率是不存在 的 3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系：
直线的斜直线的倾直线的斜率公
斜角? 式 率k
y2?y1定 k?tan? k?义 x2?x1
(??,??) [0,180?) (x1?x2) 取值
王新敞
2
§ 3.2两直线平行与垂直的判定
学习目标 1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；
2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；
3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 学习过程 一、课前准备：
（预习教材P95~ P98，找出疑惑之处） 复习1：
1．已知直线的倾斜角?(??90?)，则直线的斜率为 ；已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1?x2，则直线的斜率为 . 2.若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为 .
3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值分别为 . 4．已知l1,l2的斜率都不存在且l1,l2不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点A(m,2),B(?m,2m?1)，且直线的倾斜角为60?，则m? .
复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?
二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 . (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .王新敞
问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线l1和l2的斜率为k1和k2.
⑴两条直线平行的情形．如果l1//l2，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？
yl1l2
3
?1?2Ox
新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1//l2?k1=k2王新敞 注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． ⑵两条直线垂直的情形.如果l1?l2，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？
yyy l1l2l2ll11l2 ???1?2?211O? Ox甲x2乙Ox丙
新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.
即l11?l2?k1??王新敞k?k1k2??1 2※ 典型例题
例1 已知A(2,3),B(?4,0),P(?3,1),Q(?1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.
例2 已知A(1,?1),B(2,2),C(3,0)三点，求点D的坐标，使直线CD?AB，且CB//AD.
变式：已知A(5,?1),B(1,1),C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.
※ 动手试试
练1. 试确定m的值，使过点A(m,1),B(?1,m)的直线与过点P(1,2),Q(?5,0)的直线 ⑴平行； ⑵垂直
练2. 已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB?2，求B点的坐标.
三、总结提升： ※ 学习小结：
1．l1//l2?k1?k2或l1,l2的斜率都不存在且不重合. 2．l1?l2?k1gk2??1或k1?0且l2的斜率不存在，
或k2?0且l1的斜率不存在. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A．若l1?l2，则k1gk2??1
B．若直线l1//l2，则两直线的斜率相等
C．若直线l1、l2的斜率均不存在，则l1?l2 D．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 2. 过点A(1,2)和点B(?3,2)的直线与直线y?1的位置关系是（ ）.
A．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对
3. 经过(m,3)与(2,m)的直线l与斜率为?4的直线互助垂直，则m值为（ ）.
A．?75 B．75 C．?14145 D．5
4. 已知三点A(a,2),B(5,1),C(?4,2a)在同一直线上，则a的值为 . 5． 顺次连结A(?4,3),B(2,5),C(6,3),D(?3,0)，所组成的图形是 . 课后作业 1. 若已知直线l1上的点满足ax?2y?6?0，直线l2上的点满足x?(a?1)y?a2?1?0(a?1)，试求a为何值时，⑴l1//l2；⑵l1?l2.
2． 已知定点A(?1,3),B(4,2)，以A,B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.
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§ 3.2.1直线的点斜式方程 学习目标 1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适
用范围； 2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； 3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
学习过程 一、课前准备： （预习教材P101~ P104，找出疑惑之处） 复习1．已知直线l1,l2都有斜率，如果l1//l2，则 ；如果l1?l2，则 . 2．若三点A(3,1),B(?2,k),C(8,11)在同一直线上，则k的值为 . 3．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2)，则第四个顶点D的坐标 . 4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?
二、新课导学： ※ 学习探究
问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？
新知1：已知直线l经过点P(x0,y0)，且斜率为k，则方程y?y0?k(x?x0)为直线的点斜式方程.
问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
问题3：⑴x轴所在直线的方程是 ，y轴所在直线的方程是 . ⑵经过点P0(x0,y0)且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是 .
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⑶经过点P0(x0,y0)且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是 .
问题4：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为
(0,b)，求直线l的方程.
新知2：直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直
线l在y轴上的截距（intercept）.直线y?kx?b叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标. 问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜
截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.
※ 典型例题 例1 直线过点(?1,2)，且倾斜角为135?，求直线l的点斜式和斜截式方程，并画出直线l.
变式：⑴直线过点(?1,2)，且平行于x轴的直线方程 ； ⑵直线过点(?1,2)，且平行于x轴的直线方程 ； ⑶直线过点(?1,2)，且过原点的直线方程 .
例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：
⑴ 斜率是32，在y轴上的距截是－2；
⑵ 斜角是1350，在y轴上的距截是0 王新敞
高中数学必修2人教A：全册导学案及答案第3章 直线与方程
