－1±5
∴ ?= ，
2由α>0，知，?=－1+5－1+5
．∴ 原数为． 22
5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足
a2－a1≥3，与a3－a2≥3，
那么，所有符合上述要求的不同取法有 种． 【答案】120
【解析】令a1?=a1，a2?=a2－2，a3?=a3－4，则得1≤a1? 3 三．(本题满分20分) 已知a1，a2，…，an是n个正数，满足 a1?a2?…?an=1． n求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3． a1a2+a1a3+…+an－1an≥Cnn2 Cn2 (a1a2…an) n－1 =Cn，……， n－1 2 ∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=2+(a1+a2+…+an)2 ≥2+Cn2 n1n－1 +(a1a2+a1a3+…+an－1an)2 nnn－2 +…+a1a2…an +Cn2 2n－2 +…+Cn=(2+1)=3． 1 四．(本题满分20分) 已知正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O?，在AO?上取一点P，使 AP=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积． PO? 五．(本题满分20分) 已知：对任意的n∈N*，有an>0，且 Σaj=(Σaj)．求证：an=n． j=1j=1【解析】证明：由已知，a1=a1，a1>0，∴ a1=1． 设n≤k(k∈N，且k≥1)时，由Σaj =(Σaj)成立可证ak=k成立． j=1j=1 3 2 n3 n2 n3 n2 k+13k+12kk22 当n=k+1时，Σaj=(Σaj)=(Σaj)+2ak+1(Σaj)+ak+1． j=1j=1j=1j=1 121312222 即 k(k+1)+ak+1=k(k+1)+2ak+1·k(k+1)+ak+1． 442 2 21世纪教育网 ∴ ak+1－ak+1－k(k+1)=0，解此方程，得ak+1=－k或ak+1=k+1．由an>0知，只有ak+1=k+1成立． 即n=k+1时命题也成立．由数学归纳原理知对于一切n∈N*，an=n成立． 第二试 一．(本题满分35分) 已知 在ΔABC中，AB>AC，?A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F． 求证 2AF=AB-AC． 【解析】证明：在FB上取FG=AF，连EG、EC、EB， 于是ΔAEG为等腰三角形，∴EG=EA． E又?3=180?－?EGA=180?－?EAG=180?－?5=?4． 5A?1=?2．于是ΔEGB≌ΔEAC．∴BG=AC， 4F故证 3G 2 1二．已知xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，满足 CB Σ|xi|=1，Σxi=0， i=1i=1 nn?nxi?11 求证：?Σ?≤－ ． ?i=1i?22n三．有n×n（n≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除（即总能表示成4k的形式，其中k∈Z）． 【解析】证明 ：基本项共有n!个，n>3，则基本项的个数为4的倍数，设共有4m项． 其中每个数aij(=±1)都要在(n－1)!个基本项中出现，故把所有基本项乘起来后，每个aij都乘了(n－1)!次，而n>3，故(n－1)!为偶数，于是该乘积等于1．这说明等于－1的 基
1989年全国高中数学联赛试题及详细解析
