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2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷）
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3
至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知cos?tan??0，那么角?是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角 Ｄ．第一或第四象限角 2．函数f(x)?3(0?x≤2)的反函数的定义域为（ ） Ａ．(0，??)
Ｂ．(1，9]
Ｃ．(0，1)
Ｄ．[9，??)
x3．函数f(x)?sin2x?cos2x的最小正周期是（ ） Ａ．
π 2
Ｂ．π
Ｃ．2π
Ｄ．4π
x2y24．椭圆2?2?1(a?b?0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，
ab若MN≤?F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
?1?Ａ．?0，?
?2?
?2?Ｂ．?0，?
?2??
?1?1? Ｃ．?，2??
?2?
，1?Ｄ．?? 2??
5．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌
照号码共有（ ） Ａ．C??1122624A10个 4
Ｂ．A26A10个 Ｄ．A2610个
2424
Ｃ．C26??10个
?x?y?5≥?，?6．若不等式组?y≥a，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
?0≤x≤2?Ａ．a?5
Ｂ．a≥7
Ｃ．5≤a?7
Ｄ．a?5或a≥7
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7．平面?∥平面?的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线?，a∥?，a∥? Ｂ．存在一条直线a，a??，a∥?
Ｃ．存在两条平行直线a，b，a??，b??，a∥?，b∥? Ｄ．存在两条异面直线a，b，a??，a∥?，b∥?
8．对于函数①f(x)?x?2，②f(x)?(x?2)，③f(x)?cos(x?2)，判断如下两个命题的真假：
命题甲：f(x?2)是偶函数；
命题乙：f(x)在(??，?)上是减函数，在(2，??)上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③
2
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）（北京卷） 第II卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 3 ．
22，3，)，则此数列的通项公式为 10．若数列?an?的前n项和Sn?n?10n(n?1， ．
11．已知向量a=?2，，4?b=?11，?．若向量b?(a+?b)，则实数?的值是 ．
12．在△ABC中，若tanA?1，C?150，BC?1，则AB? 3 ．
13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为?，那么cos2?的值等于 ．
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14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 1 2
2 1
3 1 x 1 3 2 2
3 1 ．
f(x) f(x) 则f[g(1)]的值为 ；当g[f(x)]?2时，x?
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共12分）
x?a?0的解集为P，不等式x?1≤1的解集为Q． x?1（I）若a?3，求P；
记关于x的不等式
（II）若Q?P，求正数a的取值范围． 16．（本小题共13分）
数列?an?中，a1?2an?1?an?cn（c是常数，n?1，且a1，a2，a3成公比不为1，2，3，）的等比数列． （I）求c的值；
（II）求?an?的通项公式． 17．（本小题共14分）
A
π，斜边AB?4．Rt△AOC可6以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B?AO?C的直二面角．D是AB的中点．
（I）求证：平面COD?平面AOB；
（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．
如图，在Rt△AOB中，?OAB?18．（本小题共12分）
某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在
C 起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：
（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率； （II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率； 19．（本小题共14分） 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x?3y?6?0点T(?11)，在AD边所在直线上． （I）求AD边所在直线的方程； （II）求矩形ABCD外接圆的方程；
（III）若动圆P过点N(?2，0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，
D
O
B
y C T D N O A M B x 2020年最新
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求动圆P的圆心的轨迹方程． 20．（本小题共14分）
已知函数y?kx与y?x?2(x≥0)的图象相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1，l2分别是
2y?x2?2(x≥0)的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1?x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较OM与ON的大小，并说明理由（O是坐标原点）．
2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文史类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｂ 4．Ｄ 7．Ｄ 8．Ｃ
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．3 13．
10．2n?11
14．1
11．?3
5．Ａ
6．Ｃ
12．10 2
7 251
三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共12分） 解：（I）由
x?3?0，得P??x?1?x?3?． x?1（II）Q?xx?1≤1?x0≤x≤2．
由a?0，得P?x?1?x?a，又Q?P，所以a?2， 即a的取值范围是(2，??)． 16．（共13分）
解：（I）a1?2，a2?2?c，a3?2?3c， 因为a1，a2，a3成等比数列， 所以(2?c)?2(2?3c)，
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解得c?0或c?2．
当c?0时，a1?a2?a3，不符合题意舍去，故c?2． （II）当n≥2时，由于
a2?a1?c， a3?a2?2c，
an?an?1?(n?1)c，
所以an?a1?[1?2??(n?1)]c?n(n?1)c． 223，)． 又a1?2，c?2，故an?2?n(n?1)?n?n?2(n?2，当n?1时，上式也成立，
22，)． 所以an?n?n?2(n?1，17．（共14分）
解法一：
（I）由题意，CO?AO，BO?AO， ??BOC是二面角B?AO?C是直二面角， ?CO?BO，又AOBO?O，
A
?CO?平面AOB， 又CO?平面COD．
?平面COD?平面AOB．
（II）作DE?OB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO， ??CDE是异面直线AO与CD所成的角．
1在Rt△COE中，CO?BO?2，OE?BO?1，
2C 22?CE?CO?OE?5．
又DE?D
O E
B
1AO?3． 2?在Rt△CDE中，tanCDE?CE515． ??DE3315． 3?异面直线AO与CD所成角的大小为arctan解法二：
（I）同解法一．
0，23)，C(2，（II）建立空间直角坐标系O?xyz，如图，则O(0，0，0)，A(0，0，0)，
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A
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(北京.文)含答案
