6.2等差数列及其前n项和
考情分析
高考中主要在选择题、填空题中考查等差数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多考查
等差数列的证明 基础知识
*1、等差数列的判定：（1）定义法：an?1?an?d(n?N)（2）等差中项法：
2an?an?1?an?1(n?N*且n?2)（3）通项公式法：an?kn?b(k,b?R)（4）Sn?An2?Bn(A,B?R) （5）若{an},{bn}均为等差数列，Sn为{an}的前n项和，则
S由原等差数列中相隔k项的{man?kbn?l}{；n}{；Sk,S2k?Sk,S3k?S2kggg即相邻k项和}；
n项从新组成的数列仍等差 要否定是等差数列，只需举一组反例即可 2、等差数列的性质
（1）通项公式：①an?a1?(n?1)d②an?am?(n?m)d （2）前n项和公式：①Sn?n(a1?an)n(n?1)②Sn?na1?d 22（3）下脚标性质：若m+n=p+q，则am?an?ap?aq （4）奇偶项的性质：项数为2n的等差数列有S偶?S奇=nd,S奇an；=(an,an?1为中间两项）
S偶an?1S奇n(an为中间项） =S偶n-1项数为奇数2n?1的等差数列有S2n?1?(2n?1)an，S偶?S奇=an,（5）几个常用结论：①若an?m,am?n(m?n)则am?n?0②若Sn?m,Sm?n(m?n)则
Sm?n??(m?n)③若Sm?Sn(m?n)则Sm?n?0④若Sn,Tn分别为等差数列{an}和{bn}的前n项和，则
amS2m?1? bmT2m?1（6）两个常用技巧：若三个数成等差通常设成a?d,a,a?d，若四个数成等差通常
a?3d,a?d,a?d,a?3d，方便计算
注意事项
1.利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
1
①＋②得：Sn＝
na1＋an2
.
2.已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3.等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N)都成立； (3)通项公式法：验证an＝pn＋q； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An＋Bn. 题型一 等差数列基本量的计算
1
【例1】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则S40＝( )
2
A. 290 C. 410 答案：C
1140×391
解析：S2＝a3，∴2a1＋d＝a1＋2d，∴d＝，∴S40＝40×＋×＝410.
2222【变式1】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 解析 设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋
B. 390 D. 430
2
*
a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由①②可得d71313767
＝，a1＝，所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝. 6622226666答案
67
66
考向二 等差数列的判定或证明
【例2】已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝an＋n－4.
(1)求证{an}为等差数列； (2)求{an}的通项公式．
(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a1＋1－4，即a1－2a1－3＝0， 解得a1＝3(a1＝－1舍去)． 当n≥2时，有2Sn－1＝an－1＋n－5，
2
2
2
2
2
又2Sn＝an＋n－4，
两式相减得2an＝an－an－1＋1， 即an－2an＋1＝an－1， 也即(an－1)＝an－1，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1. 若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1， 而a1＝3，
所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾， 所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1， 因此{an}为等差数列．
(2)解：由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)＝n＋2，即an＝n＋2.
【变式2】 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6. (1)求Sn；
(2)证明：数列{an}是等差数列．
－2＝A＋B＋C，??2
(1)解 设Sn＝An＋Bn＋C(A≠0)，则?0＝4A＋2B＋C，
??6＝9A＋3B＋C，解得：A＝2，B＝－4，C＝0. ∴Sn＝2n－4n.
(2)证明 当n＝1时，a1＝S1＝－2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－4n－[2(n－1)－4(n－1)] ＝4n－6.
∴an＝4n－6(n∈N)．
当n＝1时符合上式，故an＝4n－6， ∴an＋1－an＝4， ∴数列{an}成等差数列．
题型三 等差数列前n项和的最值
【例3】数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负． (1)求数列的公差d； (2)求前n项和Sn的最大值；
*
2
2
2
2
2
2
22
2
2
3
(3)当Sn>0时，求n的最大值．
解：(1)由已知a6＝a1＋5d＝23＋5d>0，a7＝a1＋6d＝23＋6d<0， 2323
解得：－ 56又d∈Z，∴d＝－4. (2)∵d<0，∴{an}是递减数列， 又a6>0，a7<0， ∴当n＝6时，Sn取得最大值， S6＝6×23＋ 6×5 ×(－4)＝78. 2 (3)Sn＝23n＋ nn－1 2 ×(－4)>0，整理得： 252 n(50－4n)>0，∴0 所求n的最大值为12. 【变式3】 在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时， Sn取得最大值，并求出它的最大值． 解 法一 ∵a1＝20，S10＝S15， 10×915×14 ∴10×20＋d＝15×20＋d， 225 ∴d＝－. 3 565?5?∴an＝20＋(n－1)×?－?＝－n＋. 33?3? ∴a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0. 12×11?5? ∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×?－?＝130. 2?3?5 法二 同法一求得d＝－. 3∴Sn＝20n＋ nn－1 2 ?5?·?－? ?3? 52125＝－n＋n 66 5?25?23 125＝－?n－?＋. 2?6?24 4 ∵n∈N， ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130. 5 法三 同法一得d＝－. 3 又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12＝S13＝130. 考向四 等差数列性质的应用 【例4】?设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n. 解 由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36① * an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180② ①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216. ∴a1＋an＝36.又Sn＝∴18n＝324. ∴n＝18. 【变式4】 (1)设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2(n∈N＋)，则a1＋a2＋…＋a17＝________. (2)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________． 解析 (1)∵an＋1－an＝2，∴{an}为等差数列． ∴an＝－7＋(n－1)·2，∴a17＝－7＋16×2＝25， na1＋an2 ＝324， S17＝ a1＋a17×17 2 ＝ －7＋25×17 ＝153. 2 (2)由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18?S20＝ a1＋a20 218 ×20＝×20＝180. 2 答案 (1)153 (2)180 重难点突破 【例5】已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式． 解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2n－2(n－1)－2(n－1)＝4n， 又a1＝S1＝4，故an＝4n， 2 2 2 5
高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 6.2等差数列及其前n项和学案
