一、对极限定义的研究
1、对中学极限定义的研究
数列极限概念：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列
?a?的项ann无限的趋近于
某个常数a（即an?a无限的接近于0），那么就说数列?an?以a为极限，或者说a是数列?an?的极限。
函数极限概念：一般地，当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f?x?无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f?x?的极限是a，记作
x???limf?x??a，也可记作当x???时，f?x??a
当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f?x?无限趋近于一个常
数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f?x?的极限是a，记作limf?x??a，
x???也可记作当x???时，f?x??a
一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数
f?x?无
限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，函数f?x?的极限是a，记作
x?x0limf?x??a，也可记作当x?x0时，f?x??a.limf?x?也叫做函数f?x?在点
x?x0x?x0处的极限.
2、对大学极限定义的研究
数列极限的定义：设有数列?an?和一个数a。若对预先任意给定的不论怎样小的一个数?，总存在自然数N，只要当n?N时，恒有an?a??成立，则称数a为数
列?an?的极限。记作liman?a.我们也说an无限趋近于a，并写成
x??an?a?n???.此时，称数列收敛.如果数列不存在极限，称数列发散. 有关概念的几点说明：?1?掌握极限概念的关键在于对正数?二重性的理解. ?的二重性是：一方面，?必须具有任意性. ?可以代表任意小的正数，只有这样才
?必须具有相对固定性.在论证过能保证描述数列?an?无限地趋近a.另一方面，
程中，一旦给了?，那么它是相对固定的，否则论证工作就无法进行. 极限概念中?的二重性，深刻反映了静与动，近似与精确，有限与无限的对立统一.因此，极限方法是人们从静认识动，从近似认识精确，从有限认识无限的一种数学方法. ?2? 自然数N显然依赖于正数?，一般地说，所给定的?越小，
N应该越大，有时为了表示这种关系，就写成N???.另外，从极限定义可以看出，如果当n?N时，an?a??成立，那么对任一个N1?N,当n?N1时，
an?a??亦必然成立.
函数的极限概念：设函数f?x?定义在区间?a,???上，且存在常数A.如果对任意给定的??0，总存在正数M，当x?M时，恒有f?x??A??成立，则称A为x???时函数f?x?的极限，记作limf?x??A或f?x??A ?x????.
x???设函数f?x?定义在区间???,a?上，且存在常数A.如果对任意给定的??0，总存在M?0，恒有f?x??A??成立，则称A为x???时函数f?x?x??M时，的极限，记作limf?x??A或f?x??A ?x????.
x???设函数f?x?定义在区间???,?a?与?a,???上（其中a?0），且存在常数A.如果对任意给定的??0，总存在M?a，当x?M时，恒有f?x??A??成立，
则称A为x??时函数f?x?的极限，记作limf?x??A或f?x??A
x???x????.
设函数f?x?在点a某邻域有定义（在点a可能除外），并有数A.如果对任意给定的??0，总存在??0，当0?x?a??时，恒有f?x??A??，则称数A为函数f?x?在点a的极限，记作limf?x??A或f?x??A ?x?a?
x??上述函数极限的几点说明：?1? 在极限定义中，要求0?x?a是为了去掉
x?a的情形.因为函数f?x?当x?a时，有没有极限，只与函数f?x?在点a附
近的取值状态有关而与函数f?x?在x?a处的值没有必要联系，甚至f?x?在
x?a处有没有定义，都无关紧要. ?2?显然，正数?依赖于预先给定的?；一般
地说，给定的?小，?也应当随着取得更小.有时为了表示这种依赖关系，就写成????.另外，从定义可看出，如果当0?x?a??时，恒有f?x??A??，那么对任一?1，0??1??，当0?x?a??时， f?x??A??成立. ?3?从定义求极限时，通常需要加强不等式.为此，常常先限定自变量x的变化范围：
x?a??0，由于我们考擦的是，当x?a时，函数f?x?的变化趋势；所以，对点a邻域?a??0,a??0?之外，f?x?是怎样的，那是无关紧要的.
二元函数极限定义：设f为定义在D?R2上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是一个确定的实数。若对任给正数?，总存在某正数?，使得当
P?Uo?P0时，以A为极0;???D时，都有f?P??A??,则称f在D上当P?P限，记作limf?P??A.在对于P?D不至于产生误解时，也可以简单地写作
P?P0P?DP?P0limf?P??A.当P,P0分别用坐标?x,y?,?x0,y0?表示时，limf?P??A也常写作
P?P0?x,y???x0,y0?limf?x,y??A
二、对极限解题方法进行研究
1、对中学极限解法的研究
2、对大学极限解法的研究
1 利用极限的四则运算的性质
这是很基础的极限思想 若两个函数在同一点的有极限，可以用此四则运算直接给出这两个函数在这点的和.差.积.商的极限值。
即 若 limf(x)?A
x?x0x?x0x?x0x?x0limg(x)?B
x?x0(I)lim?f(x)?g(x)?? limf(x)?limg(x)?A?B (II)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)?A?B
x?x0x?x0x?x0(III)若 B≠0 则：
limf(x)f(x)x?x0A lim??x?x0g(x)limg(x)Bx?x0
IV）limc?f(x)?c?limf(x)?cA （c为常数）
x?x0x?x0上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立
直接用代值法求极限，当所求函数在极限点不间断时，求其极限只需将该点值带入函数（即等于该点的函数值）
x2?3x?5例：求 lim
x?2x?4x2?3x?522?3?2?55?解: lim=
x?2x?42?42
2 利用无穷小量性质法
对于求两个函数的相乘类型的函数，特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质，我可以使用此方法，如果两函数f（x）.g（x）符合有以下条件： （I）limf(x)?0
x?x0(II) g(x)?M (M为正整数) 则：limg(x)f(x)?0
x?x0例: 求 limx?sinx?01 x1?1 x 解: 由 limx?0 而 sinx?0故 原式 =limx?sinx?01?0x
拓展：对于无穷小量的另一种方法 如果我们可以得出 （I）若：limf(x)?? 则 lim1?0 f(x)(II) 若: limf(x)?0 且 f(x)≠0 则 lim例: 求下列极限 ① lim1??f(x)
11 ②lim
x??x?5x?1x?1解: 由 lim(x?5)?? 故 lim
1?0
x??x?5x??1由 lim(x?1)?0 故 lim=?
x?1x?1x?13 约去零因式
0x?x时,型对于函数极限的00
不能直接求极限。那么可以通过一个小技巧就是对函数的分子 分母进行分解，约去零因式 这类型在求极限的过程中很常用和使用，如例题：
x3?x2?16x?20求lim3 x??2x?7x2?16x?12?x解:原式=lim?xx??23?3x2?10x?(2x2?6x?20) 322?5x?6x?(2x?10x?12)??(x?2)(x2?3x?10) =lim
x??2(x?2)(x2?5x?6)(x?5)(x?2)(x2?3x?10)lim=lim= x??2(x?2)(x?3)x??2(x2?5x?6)=lim
x??2
x?5??7x?3
毕业论文初稿
