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必修五第05基本不等式及其应用(修)

由天下分享时间：2025/1/30 0:17:55 加入收藏我要投稿点赞

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第五讲基本不等式

A组

一、选择题

1，则实数a,b的关系为（） 4A．a?b B．a?b C．a?b D．a?b

1. 若实数a,b?(0,1)，且满足(1?a)b?

【答案】A

【解析】因为(1?a)b?11(1?a)?b1?，，所以(1?a)b?，即

4222所以b?a?0，所以选A．

2. 若0?a?b且a?b?1，则下列四个数中最大的是（）

1 Ｂ．2【答案】B

Ａ．

a2?b2 Ｃ．2ab Ｄ．a

13【解析】取a?,b?，可排除Ａ，C，D；故选B.

443. 设x?0,则y?3?3x?1的最大值为（） x

Ａ．3 Ｂ．3?32 Ｃ．3?23 Ｄ．－1 【答案】C

【解析】x?0，y?3?3x?31时等号成立，故选C. ?3?23，当且仅当x?3xab4.设a,b为实数且a?b?3,则2?2的最小值是 ( ) Ａ．6 Ｂ．42 Ｃ．22 Ｄ．26 【答案】B

【解析】2?2?2?2aba?b2?42，当且仅当a?b?3时等号成立，故选Ｂ. 25.下列函数中，最小值为4的是（） A．f(x)?x?【答案】C

【解析】显然A，B，D中的函数值可以为负，故排除.

对于C，f(x)?3x?4?3?x?4当且仅当x?log32时等号成立，故选C.

4 xB．f(x)?cosx?4 C．f(x)?3x?4?3?x D．f(x)?lgx?logx10 cosx 1

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6. 若x,y是正数，且

14??1，则x?y有（） xyＡ．最大值16 Ｂ．最小值【答案】C

【解析】∵x,y是正数,∴ ∴xy的最小值为16. 故选C.

11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616144,∴xy?16,当且仅当x?2,y?8时等号成立. ??1?2xyxy7.设x,y?R且x2?xy?y2?9，则x2?y2的最小值为( ).

9 B. 6 C. 9 D. 12 2【答案】B

x2?y2【解析】由9??x?y??xy?，故有x2?y2的最小值为6，当且仅当x?y?3 2或x?y??3等号成立.故选B.

225x2?3x?38.已知x?，则f(x)?有（）

22x?4A、最大值【答案】D

5533 B、最小值 C、最大值 D、最小值 44225x2?3x?3(x?1)(x?2)?1113??((x?2)??1)?，【解析】x?，f(x)?22(x?2)2x?222x?4当且仅当x?2?二、填空题

9.【2016年上海高考】设a?0,b?0.若关于x,y的方程组?【答案】?2,???. 【解析】将方程组?13，即x?3时，函数有最小值.故选D. x?22?ax?y?1无解，则a?b的取值范围是_____.

?x?by?1?ax?y?1???(1)中的（1）式化简得y?1?ax，代入（2）式整理得(1?ab)x?1?b,，

?x?by?1???(2)方程组无解应该满足1?ab?0且1?b?0,所以ab?1且b?1,，所以由基本不等式得a?b?2ab?2. 故a?b的取值范围是?2,???. 10.若实数a,b,c满足2?2?2【答案】2?log23

【解析】由2a?b?2a?2b?22a?b，即有2ca?baba?b,2a?2b?2c?2a?b?c，则c的最大值为．

2a?2b2a?b114?a?b?1?a?b?1??，故有c?2?log23, 而2?a?b2?12?12?14?13

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了即c的最大值为2?log23.

11.若实数x,y满足4x2?y2?xy?1，则2x?y的最大值为 . 【答案】

210 52【解析】

4x2?4xy?y23xy解法一：齐次化：由?2x?y?? ?1?4x2?xy?y24x2?xy?y2? 1当xy?0时，则有2x?y?1；

2当2x?y?0时，则有?2x?y??1??284xy23，而??4，可得?2x?y??

4xy5yx??1yx21010，当且仅当y?2x?时，等号成立. 55210 综合上述可得2x?y的最大值为.

5 即有2x?y?33?2x?y?2解法二：令1?4x?y?xy??2x?y??3xy??2x?y???2x?y??2x?y?????

22?2?22222821010，即有2x?y?，当且仅当y?2x?时，等号成立. 555210综合上述可得2x?y的最大值为.

52222解法三：令2x?y?t，则有y?t?2x代入4x?y?xy?1整理可得6x?3tx?t?1?0

故可得?2x?y??2 故有????3t??24t?1?0，故有t?22??2?210210?8210,，可解得t???. ?，即最大值为555?5?三、解答题 12.求函数 y?【答案】

x?1(x??1)的最大值.

(x?5)(x?2)1 9x?1x?11==

(x?5)(x?2)(x?1)2?5(x?1)?4(x+1)+4?5x+1【解析】 y?? x??1, ?x?1?0?144?(x?1)??5?2(x?1)??5?9 yx?1x?1?x??11??y?当且仅当?4 即x?1时，等号成立.

9x?1??x?1?13.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次，某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次还要包1辆汽车，无论乘坐多少同学，每次的包车费均为40元，如果使每名同学游8次，那么购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？

【解析】：设分n批去游泳，活动总开支为y元。

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则包车费为40n元，每批去

48?848?8人，那么需要购买游泳卡张， nn?48248?8482??∴y?40n?，即n?48时，y有最小值为3840，所?240?40?n??3840，当n???nnn??以应该购买游泳卡

14.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（I）将y表示为x的函数；

（Ⅱ）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。【解析】（I）如图，设矩形的另一边长为am 则y2?45x?180(x?2)?180?2a?225x?360a?360 由已知ax?360,得a?48?8?8张，每人应该最少交3840?48?80元。 48360, x3602所以y?225x??360(x?0).

x3602(II)?x?0,?225x??2225?3602?10800

x36023602?y?225x??360?10440.当且仅当225x?，即当x?24m时，等号成立.

xx答：当x?24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.

. 15.某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年所需费用为12万元，从第二年起包括各

种费用在内，每年所需费用均比上一年增加4万元。该船每年捕捞收入为50万元。（I）该船几年开始获利？

(II)该船经过若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利最大时，以26万元价格卖出；②当盈利总额达到最大时，以8万元卖出。问那种方案合算？说明理由。【解析】（I）设n年后开始赢利，则n年收入为50n，n共需要费用为 12?16???[12?4(n?1)]，由等差数列求和可得：2n2?10n。若开始赢利，则有： 50n?2n2?10n?98，即：n2?20n?49?0，解得10?51?n?10?51，又因为n?N*，所以n?3，4，5，?，17，即从第三年开始盈利。

50n?2n2?10n?9849?40?2(n?)?40?449?12， (II)①设年平均盈利为u，则u?nn

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当且仅当n?49时取“=”，即n?7年时平均盈利最多，这时共获利12?7?26?110 n （万元）；

②设盈利总额为v，则

v?50n?2n2?10n?98??2(n2?20n?49)??2(n?10)2?102，所以当n?10时，赢利总额最大值，这时共可获利102?8?110万元。

比较①②可知，方案①花了7年可获利110万元，而方案②花10年可获利110万元，所以方案①合算。

B组

一、选择题

1.【2015高考陕西理9】设f(x)?lnx,0?a?b，若p?f(ab)，q?f(则下列关系式中正确的是（）

A．q?r?p B．q?r?p C．p?r?q D．p?r?q 【答案】C

a?b1)，r?(f(a)?f(b))，22a?ba?b11，r?(f(a)?f(b))?lnab?lnab，函)?ln2222a?ba?b数f(x)?lnx在?0,???上单调递增，因为?ab，所以f()?f(ab)，所以q?p?r，

22【解析】p?f(ab)?lnab，q?f(故选C．