年中考数学复习专题讲座：数学思想方法（一）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识． 二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。 三、中考考点精讲 考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 例 ．（?德州）已知 ．
．
，则等于（ ）
．
．
考点： 解二元一次方程组。 专题： 计算题。
分析：①②得出4a，方程的两边都除以即可得出答案． 解答： 解：∵①②得：4a，
，
∴． 故选．
点评： 本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。 考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例 （?内江）已知（，），（，﹣）两点，在轴上取一点，使﹣取得最大值时，则的坐标为． 考点： 一次函数综合题；三角形三边关系；关于轴、轴对称的点的坐标。
分析： 作点关于轴的对称点′，连接′并延长与轴的交点，即为所求的点．利用待定系数法求出直线′的解析式，然后求出其与轴交点的坐标，即点的坐标．
解答： 解：如图，作点关于轴的对称点′，连接′并延长与轴的交点，即为所求的点．此时﹣﹣′′．
不妨在轴上任取一个另一点′，连接′、′、′． 则′﹣′′﹣′′＜′（三角形两边之差小于第三边）． ∴′﹣′＜﹣，即此时﹣最大．
∵′是（，﹣）关于轴的对称点，∴′（，）． 设直线′解析式为，把（，）和′（，）代入得：
，解得
∴直线′解析式为﹣． 令，解得， ∴点坐标为（，）． 故答案为：（，）．
，
点评： 本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．
考点三：分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则：（）分类中的每一部分是相互独立的；（）一次分类按一个标准；（）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
例 （?黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是人（含人）以内的按标准收费，超过人的，超出部分按九折收费；乙家是人（含人）以内的按标准收费，超过人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？ 考点： 一次函数的应用。
分析： 当≤时，选择两个，宾馆是一样的；当＜≤时，选择甲宾馆比较便宜，当＞时，两个宾馆的收费可以表示成人数的函数，比较两个函数值的大小即可． 解答： 解：设总人数是， 当≤时，选择两个，宾馆是一样的； 当＜≤时，选择甲宾馆比较便宜；
当＞时，甲宾馆的收费是：甲×××（﹣），即甲；
乙
××（﹣），
当甲乙时，，解得：；
当甲＞乙时，即＞，解得：＞； 当甲＜乙时，即＜，解得：＜；
总之，当≤或时，选择两个，宾馆是一样的； 当＜＜时，选择甲宾馆比较便宜； 当＞时，选乙宾馆比较便宜．
点评： 此题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．
例 （?丽水）在△中，∠°，∠．如图，把△的一边放置在轴上，有，于点．
，与轴交
（）求所在直线的函数解析式； （）过点作⊥，垂足为，求△的面积；
（）已知点（，），在△的边上取两点，，是否存在以，，为顶点的三角形与△全等，且这两个三角形在的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 一次函数综合题。
分析： （）根据三角函数求点坐标，运用待定系数法求解； （）在△中，运用三角函数和勾股定理求，的长度，再计算面积；
（）分两种情况讨论求解：①点在上；②点在上．求直线与直线的交点坐标即可． 解答： 解：（）在△中，∠设直线的函数解析式为∴直线的函数解析式为（）在△中，∠∠
，
，有
．
，∴点（，
，解得：
）．
．
设，，故，， ∴△
（）存在．
，∴，得，
．
①当点在上时，点即为点， 如图，作∠的角平分线交于点，
由△1F≌△，则有1F⊥轴，由于点在直线上，当时， ﹣∴点（，②当点在上时，
如图，有，作∠的角平分线交于点，
）．
，
过点作⊥于点，设， 则﹣， 在△中，（﹣）， 解得：，，
∴（﹣，）或（﹣，）．
2013年中考数学复习专题讲座：数学思想方法(一) 通用(精品教案)
