机械原理
基 本 杆 组 分 析 法
介 绍
中国矿业大学机电工程学院机械基础教学中心
二O O八年三月
Ⅱ级机构的杆组分析法通用子程序设计
随着电子计算机的普及，用解析法对机构进行运动分析得到越来越广泛的应用。解析法中有矢量方程解析、复数矢量、杆组分析、矩阵运算等方法。本附录采用杆组分析的方法，设计通用的Ⅱ级杆组子程序，可对一般的Ⅱ级机构进行运动分析。 1. 单杆运动分析子程序
单杆的运动分析，通常是已知构件三角形△P1P2P3的边长l、r夹角α以及构件上某
基点P1的运动参数x1，y1，x’1，y’1，x’’1，y’’1和构件绕基点转动的运动参数θ，θ’，θ’’，要求确定构件上点P2和P3的运动参数。 显然，由图1可得下列关系式：
x2=x1+lcosθ， y2=y1+lsinθ x’2=x’1-lsinθθ’， y’2=y’1+lcosθθ’
2 2
x’’2=x’’1-lsinθθ’’-lcosθθ’, y’’2=y’’1+lcosθθ’’-lsinθθ’ x3=x1+rcos(θ+α)， y3=y1+rsin(θ+α) x’3=x’1-(y3-y1)θ’， y’3=y’1+(x3-x1)θ’
2 2
x’’3=x’’1-(y3-y1)θ’’-(x3-x1)θ’, y’’3=y’’1+(x3-x1)θ’’-(y3-y1)θ’
由以上各式可设计出单杆运动分析子程序（见程序单）。
图1
2. RRR杆组运动分析子程序
图2所示RRRⅡ级杆组中，杆长l1，l2及两外接转动副中心P1，P2的坐标、速度、加
速度分量为x1，x’1，x’’1，y1，y’1，y’’1，x2，x’2，x’’2，y2，y’2，y’’2，要求确定两杆的角度、
角速度和角加速度θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2。 1) 位置分析
将已知P1P2两点的坐标差表示为：
u=x2-x1，v=y2-y1 (1) 杆l1及l2投影方程式为： l1cosθ1-l2cosθ2=u
l1sinθ1-l2sinθ2=v (2) 消去θ1得：vsinθ2+ucosθ2+c=0 (3)
2222
其中：c=(u+v+l2-l1)/2l2 解式(3)可得：
tan(θ2/2)=(v±v2?u2?c2)/(u-c) (4)
１
式中+号和-号分别对应图2中m=+1和m=-1两位置。 图2 由式(2)可得：
tanθ1=(v+l2sinθ2)/(u+l2cosθ2) (5) 2) 速度分析
对式(2)求导一次得：A1θ’1+A3θ’2=u’，A2θ’1+A4θ’2=v’ (6) 其中：A1=-l1sinθ1，A2=l1cosθ1，A3=l3sinθ2，A4=-l2cosθ2
解式(6)可得：ω1=θ’1=(A4u’-A3v’)/D，ω2=θ’2=(A1v’-A2u’)/D (7) 其中：D=A1A4-A2A3=l1l2sin(θ1-θ2) 3) 加速度分析
对式(6)求导一次得：A1θ’’1+A3θ’’2=E，A2θ’’1+A4θ’’2=F (8)
2222
其中：E=u’’+A2θ’1+A4θ’2，F=v’’-A1θ’1-A3θ’2
解式(8)可得：α1=θ’’1=(A4E-A3F)/D，α2=θ’’2=(A1F-A2E)/D (9)
由上述式子可设计出RRR杆组运动分析子程序（见程序单）。
3. RRP杆组运动分析子程序
图3所示RRPⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动和移动副轴线P2P3
的方向角变量（θ2，θ’2，θ’’2）， P2点为以移动副与构件2相连的构件上运动已知的牵连点，要求确定运动变量l2，θ1，l’2，θ’1，l’’2，θ’’1。
1) 位置分析
由于θ2已知，l2待求，将式(2)消去θ1可得： 2222
l2+2(ucosθ2+vsinθ2)l2+(u+v-l1)=0 由此解得：
l2=-(ucosθ2+vsinθ2)±
2 l1?(usin?2?vcos?2)2 (10)
式中+号用于转动副中心P3处在P2H线段之外（ 图3中m=+1的位置），-号用于P3处在P2H线段 之内（图3中m=-1的位置）。 θ1由式(5)而定。
２
2) 速度分析
对式(2)求导一次得： 图3 A1θ’1+A5l’2=G，A2θ’1+A6l’2 =H (11)
其中：A1，A2同前，A5=-cosθ2，A6=-sinθ2，G=u’+l2A6θ’2，H=v’-l2A5θ’2
解式(11)可得：ω1=θ’1=(A6G-A5H)/D8，l’2=(A1H-A2G)/D8 (12) 其中：D8=A1A6-A2A5=l1cos(θ1-θ2)
3) 加速度分析
对式(11)求导一次得：A1θ’’1+A5 l’’2=E1，A2θ’’1+A6 l’’2=F1 (13)
22
其中：E1=u’’+A2θ’1+2A6l’2θ’2+l2A5θ’2+l2A6θ’’2
22
F1=v’’-A1θ’1-2A5l’2θ’2+l2A6θ’2-l2A5θ’’2
解式(13)可得：α1=θ’’1=(A6E1-A5F1)/D8，l’’2=(A1F1-A2E1)/D8 (14)
由上述式子可设计出RRP杆组运动分析子程序（见程序单）。 4. RPR杆组运动分析子程序
图4所示RPRⅡ级杆组中，已知杆长l1及两外接点P1，P2的运动，l1为P1点至导路的垂直距离， P2为过P2'与导路垂直延伸点，延伸距离为w（当P2与P1在导路同侧时，w取正，在异侧时，w取负），要求确定运动变量l2，θ1，θ2，l’2，θ’1，θ’2，l’’2，θ’’1，θ’’2。
1) 位置分析
θ1与θ2的关系为：θ2=θ1±π/2 (15) 式中+号和-号分别对应图4中m=+1和m=-1两位置。
l1与l2有如下关系： l2?u2?v2?(l1?w)2 (16)
由式(4)和式(16)可得：
tan(θ2/2)=[v±(l1-w)]/(u-l2) (17) 2) 速度分析
由于θ’1=θ’2，引进符号θ’i（i=1,2），对 式(2)求导一次得：
A7θ’i+A5l’2=u’，A8θ’i+A6l’2=v’ (18)
３
其中：A7=-(l1-w)sinθ1+l2sinθ2
A8= (l1-w)cosθ1-l2cosθ2 图4 解式(18)可得： ωi=θi=(A6u’ -A5v’)/(-l2)，l’2=(A7v’ -A8u’)/(-12) (19) 3) 加速度分析
对式(18)求导一次得：A7θ’’i+A5l’’2=E2，A8θ’’i+A6l’’2=F2 (20)
22
其中：E2=u’’+A8θ’i+2A6l’2θ’i，F2=v’’-A7θ’i-2A5l’2θ’i
解式(20)可得：αi=θ’’i=(A6E2-A5F2)/(-l2)，l’’2=(A7F2-A8E2)/(-l2) (21)
由上述式子可设计出 RPR杆组运动分析子程序（见程序单），在子程序中，以+m代替前面各式中出现的±计算符。 m称之为型参数，在设计主程序时，应根据各类Ⅱ级杆组不同的布置型式，确定m的取值（m可取+1，-1和0）。
5．PRP杆组运动分析子程序
图5所示PRPⅡ级杆组中，已知导路1，2两外接点P1，P2的运动，h1，h2分别为未知运动点P3至导路1，2的垂直距离，导路1，2的方位角、角速度、角加速度（θ1，θ’1，θ’’1，θ2，θ’2，θ’’2）均已知，要求确定导路1，2移动的位移、速度及加速度（l1，l2，l’1，l’2，l’’1，l’’2）以及P3点的运动（x3，x’3，x’’3，y3，y’3，y’’3）。
1） 位置分析
推导l1，及l2的方程式：
x1+l1cosθ1+h1sinθ1 = x2+l2cosθ2-h2sinθ2 y1+l1sinθ1-h1cosθ1 = y2+l2sinθ2+h2cosθ2 整理得：
l1cosθ1 - l2cosθ2 = E1
l1sinθ1 - l2sinθ2 = F1 (22) 其中：E1=u- A3h1-A4l2，F1=v+A1h1+A2h2，
A1=cosθ1，A2=cosθ2，A3=sinθ1，A4=sinθ2 。
由于θ1 ，θ2均已知，由此解得： l1 =（F1 cosθ2 - E1sinθ2） / D8
l2 =（F1 cosθ1 - E1sinθ1） / D8 (23) 其中：D8 = A2A3 - A1A4 = sin（θ1-θ2)
P3点的位置为：
x3 = x1 + l1cosθ1 + h1sinθ1
y3 = y1 + l1sinθ1 - h1cosθ1 (24)
４
机械原理基本杆组分析法
