人教版 高中数学 选修2-2 1.3.2函数的极值与导数课后习题

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1.3.2 函数的极值与导数 课时演练·促提升 A组 1.函数f(x)=-x+x+2x取极小值时,x的值是( ) A.2 B.-1和2 C.-1 D.-3

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解析:f'(x)=-x+x+2=-(x+1)(x-2),则在区间(-∞,-1)和(2,+∞)上,f'(x)<0,在区间(-1,2)上,f'(x)>0,

故当x=-1时,f(x)取极小值. 答案:C

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2.函数f(x)=x-3x-9x(-2

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解析:∵f(x)=x-3x-9x,

∴f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3). 令f'(x)=0得x=3或x=-1.

当x∈(-2,2)时,f(x)在(-2,-1)上是增函数,在(-1,2)上是减函数, 故f(x)在(-2,2)内有极大值f(-1)=-1-3+9=5,而无极小值,故选C. 答案:C

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3.对任意的x∈R,函数f(x)=x+ax+7ax不存在极值点的充要条件是( ) A.a=0或a=21 B.0≤a≤21 C.a<0或a>21 D.0

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解析:f'(x)=3x+2ax+7a,因为f(x)在R上不存在极值,则Δ=4a-84a≤0,解得0≤a≤21. 答案:B

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4.函数y=ax+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为( ) A.1,-3 B.1,3 C.-1,3 D.-1,-3

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解析:令y=f(x),f'(x)=3ax+b,

由已知得,f(1)=-2,f'(1)=0. ∴解得a=1,b=-3,故选A. 答案:A

5.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则y=f(x)( ) A.在区间,(1,e)内均有零点 B.在区间,(1,e)内均无零点

C.在区间内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点

解析:f'(x)=,令f'(x)=0,得x=3,当00,f(e)=-1<0,f+1>0,所以y=f(x)在区间内无零点,在区间(1,e)内有零点. 答案:D

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6.已知函数f(x)=ax+bx+6,其导数f'(x)的图象如图所示,则函数的极小值是 .

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解析:依题意f'(x)=3ax+2bx.

由题图象可知,当x<0时,f'(x)<0, 当00,

2

故x=0时函数f(x)取极小值f(0)=6. 答案:6

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7.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x-ax-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于 .

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解析:f'(x)=12x-2ax-2b,

∵f(x)在x=1处有极值,

∴f'(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6. 又a>0,b>0,

∴ab≤=9,当且仅当a=b=3时等号成立. ∴ab的最大值为9. 答案:9

8.设f(x)=aln x+x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值;

(2)求函数f(x)的极值. 解:(1)因f(x)=aln x+x+1,

故f'(x)=.

由于曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴, 故该切线斜率为0,即f'(1)=0,从而a-=0,解得a=-1. (2)由(1)知f(x)=-ln x+x+1(x>0), f'(x)=- =.

令f'(x)=0,解得x1=1,x2=-不在定义域内,舍去.

当x∈(0,1)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上为减函数;

当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(1,+∞)上为增函数. 故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=3.

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9.设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值;

(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.

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解:(1)∵f(x)=aln x+bx+x,∴f'(x)=+2bx+1.

由题意可知f'(1)=f'(2)=0, ∴解方程组得a=-,b=-.

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(2)由(1),知f(x)=-ln x-x+x, f'(x)=-x-1-x+1.

当x∈(0,1)时,f'(x)<0, 当x∈(1,2)时,f'(x)>0, 当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0.

故在x=1处函数f(x)取得极小值. 在x=2处函数f(x)取得极大值ln 2.

∴x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.

B组 xk1.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(e-1)(x-1)(k=1,2),则( ) A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值 C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值

x解析:当k=1时,f(x)=(e-1)(x-1),

xxx所以f'(x)=e(x-1)+(e-1)=ex-1, 所以f'(1)=e-1≠0, 所以f(1)不是极值.

x2

当k=2时,f(x)=(e-1)(x-1),

x2xx2x所以f'(x)=e(x-1)+2(e-1)(x-1)=e(x-1)-2(x-1)=(x-1)[e(x+1)-2],所以f'(1)=0,且当x>1时,f'(x)>0;在x=1附近的左侧,f'(x)<0,所以f(1)是极小值.

答案:C

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2.函数y=x-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( ) A.(0,3) B.(-∞,3) C.(0,+∞) D.

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解析:y'=3x-2a,

∵函数在(0,1)内有极小值,

∴y'=3x2-2a=0在(0,1)内必有实数解,

2

记f(x)=3x-2a,如图,

∴

解得0

3.已知函数f(x)=1--ln(x+1)(a为实常数),若函数f(x)在区间(-1,1)内无极值,则实数a的取值范围为 . 解析:f'(x)=.

∵f(x)在(-1,1)内无极值, ∴a-(x+1)=0在(-1,1)内无解, 即a=x+1在(-1,1)内无解, 又x∈(-1,1)时,x+1∈(0,2), ∴a≤0或a≥2. 答案:(-∞,0]∪[2,+∞)

x2

4.已知函数f(x)=e(ax+b)-x-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4. (1)求a,b的值;

(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

x解:(1)f'(x)=e(ax+a+b)-2x-4.

由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8,从而a=4,b=4.

x2

(2)由(1)知,f(x)=4e(x+1)-x-4x, f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2). 令f'(x)=0,得x=-ln 2或x=-2.

从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f'(x)>0; 当x∈(-2,-ln 2)时,f'(x)<0.

故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.

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当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e).

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5.设a为实数,函数f(x)=x-x-x+a. (1)求f(x)的极值;

(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点?

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解:(1)f'(x)=3x-2x-1.

令f'(x)=0,则x=-或x=1.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: x f'(x+ ) - 0 - 极大↘ 值 1 (1,+∞) 0 + 极小↗ 值 f(↗ x)