广东省七校联合体2024届高三第一次联考试卷（8月）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求。
1.已知集合A?{x|x?x?6?0}，集合B?{x|?1?x?3}，则A2B?（ ）
A．(2,3) B．(?1,2) C．(?3,3) D．(?1,3) 2.已知i为虚数单位，z(1?i)?3?i，则在复平面上复数z的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六 大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情 况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数据分析最差 4. 已知cos(??A．??1?)?,则sin(2??)?（ ） 636
27 9 B．
7 9 C．
8 9
D． ?
89x2y25.已知抛物线C1:y?12x与双曲线C2:2??1的焦点相同，双曲线C2的离心率为（ ）
a3A. 2 B. 6 C. 6.若函数f(x)?sin(?x?65 D. 22?3)(??0)的最小正周期为?，若将其图象向左平移
?个单位，得到函12数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ）
A．g(x)?sin(x?C．g(x)?sin(2x?12?1?) B．g(x)?sin(x?) 623)
D．g(x)?cos2x
?67.在直角梯形ABCD中，AB?4,CD?2，AB//CD,AB?AD，E是BC的中点，则
1
AB?(AC?AE)?（ ）
A． B． C． D． 8.设函数f(x)?xln21?x，则函数f(x)的图象可能为（ ） 1?xA． B．
C． D．
9.已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?4,CC1?2，长方体的体积是32，则直线BC1和平面
DBB1D1所成角的正弦值为（ ）
A.
351010 B. C. D. 22510210.已知抛物线C:y?4x,过焦点F且斜率为3的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N两点,则S?MFN?（ ）
A.
81683 B. C. 333 D.
163 311.图中长方形的总个数中，其中含阴影部分的长方形个数的概率为（ ）
1 241C.
15A. 12 3531 D.
210 B.
12. 已知数列?an?的前n项和为Sn，若a1为函数f?x??3sinx?cosx?x?R?的最大值，且满足an?anSn?1?a1?anSn，则数列?an?的前2024项之积A2024=（ ） 2 2
A．
2024 2B．
1 2C．?1
D． 1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?2y?1?0?13. 若x,y满足约束条件?2x-y-1?0，则z?3x?2y的最大值是_______．
?x?0?14．(x?1)(1?) 的展开式中，常数项是______． 15．已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，AB?3，?PAB是等边三角形，且平面PAB?平面ABCD，若四棱锥P?ABCD的外接球的表面积为28?，则AD?__________． 16. 已知x1，x2是函数f(x)?2sin2x?cos2x?m在[0，__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
11(n?2,n?N)． 17.（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1?,(n?1)an?1?2nan?1?141x4?2]内的两个零点，则sin(x1?x2)?（1）求a2、a3；
1（2）求证：数列为等差数列；
(n?1)an2（3）求数列{(2n?1)an}的前n项和Sn．
18.（本小题满分12分）四棱锥P?ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD?平面ABCD. （1）求证：AB?PD;
?（2）若?BPC?90,PB?P 2,PC?2,问AB为何值时，四棱锥
D C
P?ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.
A
B
19．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料
3
显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X 发电机最多可运行台数 40?X?80 1 80?X?120 2 X?120 3 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
20.（本小题满分12分）已知函数f(x)?ae?sinx，其中a?R，e为自然对数的底数. （I）当a?1时，证明：对?x?[0,??)，f(x)?1. （II）若函数f(x)在(0,
21.（本小题满分12分）已知圆A:x2?y2?2x?15?0和定点B(1,0)，线段MBM是圆A上任意一点，的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线y?k(x?1)与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有?ORP??ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，0????），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，
x?2)上存在极值，求实数a的取值范围.
4
建立极坐标系.曲线的极坐标方程为： .
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数 求不等式的解集；
若函数的最大值为，正实数a,b满足a?b?
m，求证：a?b?1． 8 5
广东省七校联合体2024届高三第一次联考数学(理)试题及答案
