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【点评】本题考查空间线面位置关系和空间几何体的体积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19．
【分析】（Ⅰ）求出K2=
，从而在犯错误的概率不超过0.001
的前提下不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”．
（Ⅱ）设从没有私家车的人中抽取x人，从有私家车的人中抽取y人，由分层抽样的定义知
，从而得x=2，y=4，在抽取的6人中，没有私家车有
2人，有私家车的有4人，由此能求出3人中至少有1人没有私家车的概率． 【解答】解：（Ⅰ）K2=
=
，
∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下不能认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”．
（Ⅱ）设从没有私家车的人中抽取x人，从有私家车的人中抽取y人， 由分层抽样的定义知解得x=2，y=4，
在抽取的6人中，没有私家车有2人，有私家车的有4人， 则所有的基本事件个数n=
，
=16，
，
3人中至少有1人没有私家车包含的基本事件个数m=∴3人中至少有1人没有私家车的概率p==
=．
【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 20．
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【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求出椭圆C的a，b，c即可；
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，AE与x轴相交于点N（，0）．猜想，当直线l的倾斜角变化时，直线AE与x轴相交于定点定点N．
直线l的斜率存在时，设直线l方程y=k（x﹣1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），E（4，y1），直线方程与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，可得lAE方程，验证x=时，y=0，即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，解得a=2，b=．
则所求椭圆方程：
（Ⅱ））当直线l斜率不存在时，直线l⊥X轴，则B（1，），A（1，﹣），E（4，），
直线AE的方程为：y=x﹣， ∴直线AE与x轴交于点（，0 ）
猜想，当直线l的倾斜角变化时，AE与x轴交于定点N（，0）．
证明：直线l的斜率存在时，设直线l方程y=k（x﹣1），设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），E（4，y1）， 由
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
lAE方程为：y﹣y2=（x﹣4），
当x=时，y==
。
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=k×
=k×
=
∴点N（，0）在直线lAE上．
=0
∴当直线l的倾斜角发生变化时，直线AE与x轴相交于定点（，0）．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 21．
【分析】（Ⅰ）依题意F′（x）=ex﹣，由此利用导数的几何意义能求出函数F（x）的图象在点（1，F（1））处的切线方程． （Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，a
，记G（x）=
，x≥0，根据题意
得a≤[G（x）]max．由此能求出a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）依题意F（x）=ex﹣lnx， ∴F′（x）=ex﹣
∴F′（1）=e﹣1，又F（1）=e，
∴函数F（x）的图象在点（1，F（1））处的切线方程为y﹣e=（e﹣1）（x﹣1）， 即（e﹣1）x﹣y+1=0．
。
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（Ⅱ）当x∈[e，+∞）时，af（x）+g（x）≤x2成立，即alnx+ex≤x2， 变形得a记G（x）=
，
，x≥0，根据题意得a≤[G（x）]max．
=﹣
∵x≥e＞2，∴xex＞2ex，∴xex﹣2x2＞2（ex﹣x2）， 由题意得lnx≥1，
，
∴（xex﹣2x2）lnx﹣（ex﹣x2＞2（ex﹣x2）lnx﹣（ex﹣x2）=（ex﹣x2）（2lnx﹣1）， 设m（x）=ex﹣x2，则m′（x）=ex﹣2x， 设n（x）=m′（x）=e﹣2x，则n′（x）=e﹣2，
当x≥e时，n′（x）=ex﹣2＞0，∴n（x）≥n（e）=ex﹣e2＞0， ∴m（x）在[e，+∞）上单调递增，∴m（x）≥m（a）=ex﹣e2＞0， 即ex﹣x2＞0，又2lnx﹣1≥1≥0，
∴（ex﹣x2）（2lnx﹣1）＞0，从而（xex﹣2x2）lnx﹣（ex﹣x2）＞0， 故G'（x）＜0，∴G（x）在区间[e，+∞）单调递减， ∴[G（x）]ain=G（e）=e2﹣ee． ∴a的取值范围是（﹣∞，e2﹣ee）．
【点评】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，着重考查学生的逻辑推理能力以及运算求解能力．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．
【分析】（1）曲线C的参数方程消去参数α，得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2﹣2y=0，由此能求出曲线C的极坐标方程． （2）设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+
，
S=
=
），从sin
而=2
△
，则AOB
的
面
，积
x
x
，由此能求出△AOB的
。
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面积的最大值．
【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为∴曲线C的普通方程为（x﹣∴曲线C的极坐标方程为即
．
），
，
，
（α为参数），
﹣2y=0，
）2+（y﹣1）2=4，即x2+y2﹣2
=0，
（2）设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+则
△AOB的面积： S===2
≤3
． =，
sin
当θ=0时，△AOB的面积的最大值为3．
【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查极坐标、直角坐标、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲] 23．
【分析】（1）分类讨论、去掉绝对值，求得不等式的解集，综合可得结论．
（2）由题意可得f（x）=，要使函数y=f（x）在R上有最大
值，则，得a的范围．
【解答】解：（1）设φ（x）=f（x）+f（﹣x）=
。
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2024年河南省濮阳市高考数学一模试卷（文科）
