高一数学研究性学习-向量

高一年级数学研究性学习

研究学习主题：平面向量在数学问题中的应用

适用年级：高一全级 教 师：郝 斌

目 录

课题研究背景 ....................................................... 1 研究目标 ........................................................... 1 研究方法 ........................................................... 2 研究成果。（小论文） ............................................... 2 1 平面向量的基础知识 ............................................... 2

1.1向量的几何表示 .............................................. 2 1.2平面向量的坐标表示 .......................................... 3 1.3向量的运算 .................................................. 3

1.3.1加法运算 .............................................. 3 1.3.2减法运算 .............................................. 4 1.3.3数乘运算 .............................................. 4 1.3.4坐标运算 .............................................. 4 1.3.5向量的数量积 .......................................... 5 1.4平面向量的基本定理 .......................................... 5 2 平面向量应用举例 ................................................. 6

2.1平面向量在数学证明中的应用 .................................. 6

2.1.1平面向量在三角公式中的应用 ............................ 6 2.1.2向量法在平行问题中的应用 .............................. 7 2.2 应用向量法解决一些解析几何问题.............................. 9

2.2.1求体积 ................................................ 9 2.2.2求点的坐标 ........................................... 10 2.2.3求直线的方程 ......................................... 10

平面向量在数学问题中的应用

指导老师：郝斌 课题组长：王强

小组成员：高一全体同学

班级：高一（1）、（3）、（4）、（7）班

课题研究背景

在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

研究目标

通过研究性学习来了解向量在中学数学中的作用和地位，知道向量这种新的方法在数学学习中的作用，以及学习这种方法来更方便简洁的解决数学问题。从而提高学习数学的兴趣，更容易的掌握学习技巧和方法。

研究方法

1、 查阅资料。通过查阅资料来了解平面向量的用途及向量方

法，学习这种数学思想。

2、 自主探讨。分组讨论来解决一些简单的数学问题，培养这种

思想方法。

3、 老师引导。通过老师的引导通过向量的方法解决一些较难的

数学问题。

研究成果。（小论文） 1 平面向量的基础知识

1.1向量的几何表示

具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→） 有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。 有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，

向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a，

在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 长度等于0的向量叫做零向量，记作0。

零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。

长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

1.2平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj

我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y），

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。

在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

1.3向量的运算

1.3.1加法运算 向量加法的定义

已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC

AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点）

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。 |a＋b|≤|a|＋|b|。