大学入学考试中心九十三学年度数学学科能力测验试卷
第一部分﹕选择题 一﹑单一选择题
说明﹕第1至6题﹐每题选出最适当的一个选项﹐每题答对得5分﹐答错不倒扣﹒
( ) 1. 已知一等差数列共有十项﹐且知其奇数项之和为15﹐偶数项之和为30﹐则下列哪一选项
为此数列之公差﹖ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5﹒
( ) 2. 下列选项中的数﹐何者最大﹖[其中n!＝n ? (n－1) ? … ? 2 ? 1]
100!﹒ 50!( ) 3. 右图阴影部分所示为复数平面上区域A＝{z：z＝r(cosθ＋isinθ)﹐0 ? r ? 1﹐ 3?5?3
? θ ?}之略图﹒令D＝{w：w＝z﹐z?A}﹐试问下列选项中之略图﹐何者之阴影部分与区域D44最接近﹖
(A)100 (B)10 (C)50 (D)50! (E)
10
100
50
( ) 4. 在坐标空间中给定两点A(1 , 2 , 3)与B(7 , 6 , 5)﹒令S为xy－平面上所有使得向量uuuvuuuvPA垂直于向量PB的P点所成的集合﹐则 (A)S为空集合 (B)S恰含一点 (C)S恰含两点 (D)S为一线段 (E)S为一圆﹒
uuuvuuuv1uuuv( ) 5. 设△ABC为平面上的一个三角形﹐P为平面上一点且AP＝AB＋tAC﹐其中t为一实
3数﹒请问下列哪一选项为t的最大范围﹐使得P落在△ABC的内部﹖
11123 (B)0＜t＜ (C)0＜t＜ (D)0＜t＜ (E)0＜t＜﹒ 42343( ) 6. 台湾证券交易市场规定股票成交价格只能在前一个交易日的收盘价（即最后一笔的成交价）的涨﹑跌7%范围内变动﹒例如﹕某支股票前一个交易日的收盘价是每股100元﹐则今天该支股票每股的买卖价格必须在93元至107元之间﹒假设有某支股票的价格起伏很大﹐某一天的收盘价是每股40元﹐次日起连续五个交易日以跌停板收盘（也就是每天跌7%）﹐紧接着却连续五个交易日以涨停板收盘（也就是每天涨7%）﹒请问经过这十个交易日后﹐该支股票每股的收盘价最接近下列哪一个选项中的价格﹖ (A)39元 (B)39.5元 (C)40元 (D)40.5元 (E)41元 二﹑多重选择题
说明﹕第1至5题﹐每题至少有一个选项是正确的﹐选出正确选项﹒每题答对得5分﹐答错不倒扣﹐未答者不给分﹒只错一个可获2.5分﹐错两个或两个以上不给分﹒
( ) 1. 中山高速公路重庆北路交流道南下入口匝道分成内﹑外两线车道﹐路旁立有标志「外侧车道大客车专用」﹒请选出不违反此规定的选项﹕ (A)小型车行驶内侧车道 (B)小型车行驶外侧车
(A)0＜t＜
道 (C)大客车行驶内侧车道 (D)大客车行驶外侧车道 (E)大货车行驶外侧车道﹒
( ) 2. 在坐标平面上﹐下列哪些方程式的图形可以放进一个够大的圆里面﹖
22222
(A)3x＝2y (B)3x＋2y＝1 (C)3x－2y＝1 (D)|x＋y|＝1 (E)|x|＋|y|＝1﹒
( ) 3. 如右图O－ABCD为一金字塔﹐底是边长为1之正方形﹐顶点O与A﹑
uuuvuuuvuuuvuuuvB﹑C﹑D之距离均为2﹒试问下列哪些式子是正确的﹖ (A)OA＋OB＋OC＋OD＝
vuuuvuuuvuuuvuuuvvuuuvuuuvuuuvuuuvv0 (B)OA＋OB－OC－OD＝0 (C)OA－OB＋OC－OD＝0 uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv(D)OA ? OB＝OC ? OD (E)OA ? OC＝2﹒
( ) 4. 从1﹐2﹐…﹐10这十个数中随意取两个﹐以p表示其和为偶数之机率﹐q表示其和为奇数之机率﹒请问下列哪些叙述是正确的﹖
111 (D)|p－q| ? (E)p ?﹒ 10220( ) 5. 设f(x)为三次实系数多项式﹐且知复数1＋i为f(x)＝0之一解﹒试问下列哪些叙述是正确的﹖
3
(A)f(1－i)＝0 (B)f(2＋i)≠0 (C)没有实数x满足f(x)＝x (D)没有实数x满足f(x)＝0 (E)若f(0)＞0且f(2)＜0﹐则f(4)＜0﹒
第二部分﹕填充题
说明﹕第1至9题﹐每题完全答对给5分﹐答错不倒扣﹐未完全答对不给分﹒
1. 某数学老师计算学期成绩的公式如下﹕五次平时考中取较好的三次之平均值占30%﹐两次期中考各占20%﹐期末考占30%﹒某生平时考成绩分别为68﹑82﹑70﹑73﹑85﹐期中考成绩分别为86﹑79﹐期末考成绩为90﹐则该生学期成绩为__________﹒（计算到整数为止﹐小数点以后四舍五入）
2. 某电视台举办抽奖游戏﹐现场准备的抽奖箱里放置了四个分别标有1000﹑800﹑600﹑0元奖额的球﹒参加者自行从抽奖箱里摸取一球（取后即放回）﹐主办单位即赠送与此球上数字等额的奖金﹐并规定抽取到0元的人可以再摸一次﹐但是所得奖金折半（若再摸到0就没有第三次机会）﹔则一个参加者可得奖金的期望值是__________元﹒（计算到整数为止﹐小数点以后四舍五入）
3. 设a﹐b﹐c为正整数﹐若alog5202＋blog5205＋clog52020＝3﹐则a＋b＋c＝__________﹒
(A)p＋q＝1 (B)p＝q (C)|p－q| ?
4. 设△ABC为一等腰直角三角形﹐∠BAC＝90?﹒若P﹑Q为斜边BC的三等分点﹐则tan∠PAQ＝ __________﹒ （化成最简分数）
5. 某高中招收高一新生共有男生1008人﹑女生924人报到﹒学校想将他们依男女合班的原则平均分班﹐且要求各班有同样多的男生﹐也有同样多的女生﹔考量教学效益﹐并限制各班总人数在40与50人之间﹐则共分成__________班﹒
6. 在坐标空间中﹐平面x－2y＋z＝0上有一以点P(1 , 1 , 1)为圆心的圆Γ﹐而Q(－9 , 9 , 27)为圆Γ上一点﹒若过Q与圆Γ相切的直线之一方向向量为(a , b , 1)﹐则a＝__________﹐b＝__________﹒
7. 设270?＜A＜360?且3sinA＋cosA＝2sin2020?﹐若A＝m?﹐则m＝__________﹒
8. 坐标平面上的圆C﹕(x－7)＋(y－8)＝9上有__________个点与原点的距离正好是整数值﹒
2
9. 在坐标平面上﹐设直线L﹕y＝x＋2与拋物线Γ﹕x＝4y相交于P﹑Q两点﹒若F表拋物线Γ的焦点﹐则PF＋QF＝__________﹒
[参考答案]
第一部分﹕选择题 一﹑单一选择题
2
2
1． C 2． B 3． E 4． A 5． D 6． A 二﹑多重选择题
1．ACD 2． BE 3． CD 4． AD 5． ABE
第二部分﹕填充题
1．84 2．675 3． 15 4． 解 析 第一部分﹕选择题 一﹑单一选择题 1． 设公差为d﹐
3 5． 42 6． 5﹐3 7. ．306 8． 12 9． 10 4?a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15L由题意知﹕??a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30L﹐
因为a2－a1＝a4－a3＝a6－a5＝a8－a7＝a10－a9＝d﹐ 所以由?－?得5d＝15 ? d＝3﹒
1050
2． (A)100＜100﹒
10025050
(B)10＝(10)＝100﹒
5050
(C)50＜100﹒
5050
(D)50!＝50 ? 49 ? … ? 2 ? 1＜50 ? 50 ? … ? 50 ? 50＝50＜100﹒
100!50
＝100 ? 99 ? … ? 52 ? 51＜100 ? 100 ? … ? 100 ? 100＝100﹒ 50!故选(B)﹒
(E)
3． 由棣美弗定理知﹕w＝z＝r(cos3θ＋isin3θ)﹐其中0＜r＜1﹐故选(E)﹒
4． 【解一】
设点P(x , y , 0)为xy一平面上任一点
uuuvuuuvuuuvuuuv因为PA⊥PB﹐所以PA．PB＝0
即(1－x , 2－y , 3)．(7－x , 6－y , 5)＝0 ?(1－x)(7－x)＋(2－y)(6－y)＋15＝0
22
?x＋y－8x－8y＋34＝0
22
?(x－4)＋(y－4)＝－2
由实数的平方和恒大于或等于0﹐知道无任何实数x﹐y满足上式﹐故S为空集合﹒
【解二】
uuuvuuuv因为PA⊥PB﹐所以∠APB＝90?﹐ 推得P点在以AB为直径的球面
3
3
3
9?15?＜3θ＜﹒ 44K﹕(x－4)2＋(y－4)2＋(z－4)2＝14上﹐
又因球心(4 , 4 , 4)到xy一平面的距离4大于半径14﹐
所以球面K与xy－平面不相交﹐故S为空集合﹒
uuuvuuuv1uuuv5． 因为AP＝AB＋tAC﹐
3所以点P必在过E且与AC平行的直线
suuruuuv1uuuvED上﹐其中AE＝AB﹒
3又(1)当P＝E时﹐t＝0﹔
(2)当P＝D时﹐因D﹐B﹐C三点共线﹐所以＋t＝1 ? t＝因此当0＜t＜
132﹒ 32时﹐P落在△ABC的内部﹒ 3
6． 【解一】
5555
依题意最后的收盘价为40(1－7%)(1＋7%)＝40 ? 0.93 ? 1.07﹐ 又由对数表得
55
log(0.93 ? 1.07)＝5(log0.93＋log1.07)＝5(0.9685－1＋0.0294)＝5(－0.0021) ＝－0.0105＝－1＋0.9895＝－1＋log9.762＝log0.9762﹐ 所以收盘价约为40 ? 0.9762＝39.0480 ? 39﹐故选(A)﹒
【解二】
依题意最后的收盘价为
5555
40(1－7%)(1＋7%)＝40[(1－0.07)(1＋0.07)]＝40(1－0.0049)
555＝40[C01＋C15(0.0049)＋C2(－0.0049)＋…＋C5(－0.0049)]
2
5
? 40(1－5 ? 0.0049)＝40 ? 0.9755＝39.0200 ? 39﹐故选(A)﹒
二﹑多重选择题
1． 此标志意思为「外侧车道只限行驶大客车﹐而内侧车道则无限制」﹐因此不违反此规定的选项有(A)(C)(D)﹒ 2． (A)y＝
2
3x图形为开口向右的拋物线﹒ 2
x2y2(B)＋＝1图形为椭圆﹒
1132
x2y2(C)－＝1图形为双曲线﹒
1132
(D)|x＋y|＝1 ? x＋y＝1或x＋y＝－1图形为二平行直线﹒
(E)|x|＋|y|＝1图形为正方形﹒
故选(B)(E)﹒
3． 设P为O关于平面ABC的对称点﹐
因四边形OAPC及OBPD均为平行四边形﹐
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv所以OA＋OC＝OP﹐OB＋OD＝OP﹒
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv(A)OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD) uuuvuuuvuuuvv ＝OP＋OP＝2OP≠0﹒ uuuvuuuvuuuvuuuv(B)因为OA＋OB≠OC＋OD﹐ uuuvuuuvuuuvuuuvv 所以OA＋OB－OC－OD≠0﹒ uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv(C)因为OA＋OC＝OP＝OB＋OD﹐ uuuvuuuvuuuvuuuvv 所以OA－OB＋OC－OD＝0﹒
uuuvuuuvuuuvuuuv(D)因为|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝2﹐且∠AOB＝∠COD﹐ uuuvuuuvuuuvuuuv 所以OA?OB＝2 ? 2 ? cos∠AOB＝2 ? 2 ? cos∠COD＝OC?OD﹒
4． 因为若两数的和为偶数﹐则两数必都是奇数或都是偶数﹐
大学入学考试中心九十三学年度数学学科能力测验试卷
