故答案为作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小． 【点睛】
本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
21．（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是1元． 【解析】
分析：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
详解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元， 根据题意得：
900500?1.5?， x?5x解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解． 答：第一批悠悠球每套的进价是25元． （2）设每套悠悠球的售价为y元，
25×25%， 根据题意得：500÷（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×解得：y≥1．
答：每套悠悠球的售价至少是1元．
点睛：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．见解析 【解析】
试题分析：首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可. 解：如图所示，点P即为所求作的旋转中心．
23．（1）C1，C3；（2）D（﹣3，0）或D（23，3）；（3）﹣【解析】 【分析】
（1）直接利用线段AB的“等长点”的条件判断；
33?423≤k≤
53（2）分两种情况讨论，利用对称性和垂直的性质即可求出m，n；
（3）先判断出直线y=kx+33与圆A，B相切时，如图2所示，利用相似三角形的性质即可求出结论． 【详解】
（1）∵A（0，3），B（3，0）， ∴AB=23，
∵点C1（﹣2，3+22）， ∴AC1=4?8=23， ∴AC1=AB，
∴C1是线段AB的“等长点”， ∵点C2（0，﹣2），
∴AC2=5，BC2=3?4=7， ∴AC2≠AB，BC2≠AB， ∴C2不是线段AB的“等长点”， ∵点C3（3+3，﹣3）， ∴BC3=9?3=23， ∴BC3=AB，
∴C3是线段AB的“等长点”； 故答案为C1，C3； （2）如图1，
在Rt△AOB中，OA=3，OB=3，
∴AB=23，tan∠OAB=∴∠OAB=30°， 当点D在y轴左侧时， ∵∠DAB=60°，
OB3=， OA3∴∠DAO=∠DAB﹣∠BAO=30°， ∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”， ∴AD=AB， ∴D（﹣3，0）， ∴m=3，n=0， 当点D在y轴右侧时， ∵∠DAB=60°，
∴∠DAO=∠BAO+∠DAB=90°， ∴n=3，
∵点D（m，n）是线段AB的“等长点”， ∴AD=AB=23， ∴m=23； ∴D（23，3） （3）如图2，
∵直线y=kx+33k=k（x+33），
∴直线y=kx+33k恒过一点P（﹣33，0）， ∴在Rt△AOP中，OA=3，OP=33， ∴∠APO=30°， ∴∠PAO=60°， ∴∠BAP=90°，
当PF与⊙B相切时交y轴于F， ∴PA切⊙B于A，
∴点F就是直线y=kx+33k与⊙B的切点， ∴F（0，﹣3）， ∴33k=﹣3，
∴k=﹣
3， 3当直线y=kx+33k与⊙A相切时交y轴于G切点为E， ∴∠AEG=∠OPG=90°， ∴△AEG∽△POG， ∴
AEAG?， OPPG∴2333k?333?4233?42=，解得：k=或k=（舍去）
2553333k?3∵直线y=kx+33k上至少存在一个线段AB的“等长点”，
∴﹣
33?423≤k≤，
53【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，锐角三角函数，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，对称性，解（1）的关键是理解新定义，解（2）的关键是画出图形，解（3）的关键是判断出直线和圆A，B相切时是分界点． 24．详见解析 【解析】 【分析】
（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可．
（1）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】
解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得2x=21﹣16，解得x=1． 设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得1y=21﹣16，解得：y=2． 所以，放入一个小球水面升高1cm，放入一个大球水面升高2cm． （1）设应放入大球m个，小球n个，由题意，得
?m?n?10?m?4，解得：?． ?3m?2n?50?26n?6??答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个． 25．6.58米 【解析】
试题分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解．
在Rt△ABE中，∠ABE=62° ∴AE=AB?sin62°=25×0.88=22米， 试题解析：过A点作AE⊥CD于E．．BE=AB?cos62°=25×0.47=11.75米， 在Rt△ADE中，∠ADB=50°， ∴DE=∴DB=DE﹣BE≈6.58米． 故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
=18
米，
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 26．﹣1 【解析】
江西省南昌市2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析
