2024届【步步高】高考数学大一轮复习讲义

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解得m≥4或m≤－4. 考向三 集合的基本运算

方向1 集合的交、并、补运算

【例3】 (1)(2024·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0

A．{x|0

B．{x|0

(2)(2024·山东临沂模拟)设集合U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )

A．{x|x≥1} C．{x|0

B．{x|1≤x<2} D．{x|x≤1}

【解析】 (1)因为B＝{x|x≥1}，所以?RB＝{x|x<1}．因为A＝{x|0

(2)A＝{x|2x(x－2)<1}＝{x|x(x－2)<0}＝{x|00}＝{x|x<1}，则?UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(?UB)＝{x|1≤x<2}．

【答案】 (1)B (2)B 方向2 利用集合运算求参数

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【例4】 (1)(2024·邯郸二模)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B有三个元素，则实数m的取值范围是( )

A．[3,6) C．[2,4)

B．[1,2) D．(2,4]

(2)(2024·泰安二模)设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，若(?UA)∩B＝?，则p应该满足的条件是( )

A．p>1 C．p<1

B．p≥1 D．p≤1

【解析】 (1)集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0,1,2,3,4}，B＝m??m{x|4>2}＝?x|x>2?，∵A∩B有三个元素，∴1≤2<2，解得2≤m<4，

??

x

m

∴实数m的取值范围是[2,4)．

(2)∵全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|x>p}，∴?UA＝{x|x≤1}，又(?UA)∩B＝?，∴p≥1.

【答案】 (1)C (2)B

集合的基本运算包括集合的交、并、补，解决此类运算问题一般应注意以下几点：一是看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提；二是对集合进行化简，有些集合是可以化简的，利用化简，可使问题变得简单明了，易于解决；三是注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有

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数轴、坐标系和韦恩?Venn?图.

1．(方向1)(2024·江西南昌中学模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(?UB)∩A＝( D )

A．(－∞，－1] C．[0,3)

B．(－∞，－1]∪(0,3) D．(0,3)

解析：集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0

2．(方向2)设A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A,3?A，则实数a的取值范围为1

2

???2－a?<1，

解析：依题设得：? 2

???3－a?≥1，

??1

即?所以1

3．(方向2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝－1，n＝1. 解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

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考向四 集合的新定义问题

【例5】 (2024·沈阳模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为( )

A．15 C．20

B．16 D．21

【解析】 由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，又x∈N，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.

【答案】 D

与集合相关的新定义问题的解题思路

(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．

(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为

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集合的交集、并集与补集的运算即可．

设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数是( B )

A．7 C．25

B．10 D．52

解析：因为A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}， 所以A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}． 由x∈A∩B，可知x可取0,1； 由y∈A∪B，可知y可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x，y)的所有结果如下表所示： y －1 x 0 1 (0，－1) (1，－1) (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) (0,2) (1,2) (0,3) (1,3) 0 1 2 3 所以A*B中的元素共有10个．