【高中数学】数学《集合与常用逻辑用语》高考复习知识点
一、选择题
1．设0?p?1，随机变量?的分布列是
? P -1 1 2p(1?p) 3 (1?p)2 p2
则当p在(0,1)内增大时，“E(?)减小”是“D(?)增加”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】
首先求E???和D???，然后换元t?E???，
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1331?3?21D?????t2?t????t???，利用函数的单调性，判断充分必要条件.
2222?2?8【详解】
由题意可知：?1?p??2p?1?p??p2?0 ， 且0??1?p??1，0?2p?1?p??1，0?p?1
2222解得：0?p?1，
E?????1??1?p??1?2p?1?p??3?p2?4p?1，
2D???????1??4p?1????1?p????1??4p?1????2p?1?p????3??4p?1????p
22222??8p2?8p，
设E??4p?1?t???1,3?，
t?1123?t?1? D???8???8???t?t??422?4???12?t?1??2， 22当t???1,1?时，D?增大，当t??1,2?时，D?减小， 所以当E?减小时，不能推出D?增加； 设D???8p?8p?t??0,2?，
21???8?p???2?t，
2??1?2?t?， p????2?8??12?t?112?t??1，当D??t增加时，当0?p?时，p??，此时E??4????28228??E?也增加，
22?12?t?112?t??1，当D??t增加时，E?当?p?1时，p??，此时E??4????28228??减小，
所以当D?增加，不能推出E?减小.
综上可知：“E?减小”是“D?增加”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】
本题考查充分必要条件，离散型随机变量的期望和方程，重点考查换元，二次函数的单调性，属于中档题型.
2．已知集合P?x0?lgx?2lg3，Q??xA．?0,2? 【答案】D 【解析】 【分析】
集合P,Q是数集，集合P是对数不等式解的集合，集合Q是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：P?x1?x?9，Q?x0?x?2；
B．?1,9?
????2?1?，则PIQ为( )
?2?x?C．?1,4?
D．?1,2?
?????P?Q??1,2?.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0?a?1和a?1 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
0；命题q:直线l:x?y?m?0与圆3．已知命题p:?x?R,sinx?cosx?1…C:(x?2)2?(y?1)2?8相切的一个充分不必要条件是m??5；则下列命题中是真命题
的是（ ） A．p 【答案】C 【解析】 【分析】
由辅助角公式化简命题p，利用特殊值判断命题p为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m的值，判断出命题q为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】
命题p:?x?R,sinx?cosx?1?0
B．p?(?q)
C．(?p)?q
D．p?q
???sinx?cosx?1?2sinx?由辅助角化简可得???1，
4??可知当x????3??时，2sin?x???1?0，故p为假；
4?4?22命题q:直线l:x?y?m?0与圆C:(x?2)?(y?1)?8相切的一个充分不必要条件是
m??5
22若直线l:x?y?m?0与圆C:(x?2)?(y?1)?8相切，则d?|2?1?m|?22， 2即d?|m?1|?4，解得m?3或m??5，故q为真， 故(?p)?q为真， 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
4．下列命题为真命题的个数是（ ） ①?x?xx是无理数}，x2是无理数；
rrrrrr②若a?b?0，则a?0或b?0；
③命题“若x2?y2?0，x?R，y?R，则x?y?0”的逆否命题为真命题；
?ex?e?x④函数f?x??是偶函数.
xA．1 【答案】B 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x?2时，x2?2为有理数，故①错误；
rrrrrrrr对于②中，若a?b?0，可以有a?b，不一定要a?0或b?0，故②错误；
22对于③中，命题“若x?y?0，x?R，y?R，则x?y?0”为真命题，
B．2 C．3 D．4
其逆否命题为真命题，故③正确；
e?x?exex?e?x对于④中，f??x????f?x?，
?xx且函数的定义域是(??,0)U(0,??)，定义域关于原点对称， ex?e?x所以函数f?x??是偶函数，故④正确.
x综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
5．已知集合A?|x|y?lg4?xA．?x|1?x?2?
??2??，B??x|y??x2?4x?3，则AIB?( )
?B．?x|1?x?2? D．?x|?2?x?3?
x3? C．?x|1剟【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数函数和二次函数的性质，求得集合A,B，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合A?x|y?lg4?x所以AIB?{x|1?x?2}. 故选：B．
??2???(?2,2),B?{x|y??x2?4x?3}?[1,3]，
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合A,B是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
6．已知集合M??xA．M=N
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：集合M表示能被20整除的正整数， 而集合N表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N与集合M的公共元素为能被40整除的正整数， 即M?N??xx??x??x?Z?，则( ) ?N*且?N*?，集合N??x10??40??4B．N?M D．M?N??xC．M?N??x?x??Z??20??x??N*? ?40??x??N*?， ?40?本题选择D选项.
7．设集合A={2，1-a，a2-a+2}，若4∈A，则a=（ ） A．-3或-1或2 C．-3或2 【答案】C 【解析】
若1?a=4，则a=?3，∴a2?a+2=14，∴A={2,4,14}； 若a2?a+2=4，则a=2或a=?1，检验集合元素的互异性： a=2时，1?a=?1，∴A={2,?1,4}； a=?1时,1?a=2(舍)， 本题选择C选项.
B．-3或-1 D．-1或2
8．“sin2??4”是“tan??2”的（ ） 5B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】B 【解析】
高考数学压轴专题人教版备战高考《集合与常用逻辑用语》技巧及练习题
