炎德?英才大联考湖南师大附中
2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试
数学(文科)
得分： ___________
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的?
1 .已知全集U二R ,集合M = {x?4SX?1S4}和N = {x|x = 2k-l, k = l,2, ...}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则
阴影部分所示的集合的元素共有
A . 2个B . 3个C.1个 D .无穷多个
2 ?已知点P(tan a , cos a)在第三象限，则角a在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
「设i为虚数单位，mGR,\复数z = (m2-l) + (m-l)i是纯虚数”是Hm = ±r的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4 ?已知双曲线x2a2?y2b2 = l(a>0, b>0)的离心率为3 ,则其渐近线的方程为 A . 22y±x = 0 B . 22x±y = 0 C . 8x±y = 0 D . x±8y = 0
5.下列函数的最小正周期为n的是 A . y = cos2x B . y = |sinx2| C . y = sin x D . y = tanx2
6 .如图是某空间几何体的三视图其中主视图、侧视图、俯视图依次为直角三角形、直角梯形、等边三角形，则该几何
体的体积为
A.33 C.233
B.32 D.3
7 ?已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x) + g(x) = ax - a - x + 2 (a>0 , a^l),若g(2)\，则f(2)= A . 2 B.154 C.174 D . a2
8 .已知向量 m = (A + 1, 1), n = (A + 2 , 2),若(m + n)±(m - n),贝i_|入二 A.?4 B.?3 C.?2 D.
9 ?已知某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y的值恰好是13 ,则在空白的赋值框处应填入的关系式
可以是
A . y = x3 B . y = 13x C . y = 3x D . y = 3 - x
10 .设x , y满足约束条件3x-y- 6<0x - y + 2>0x>0 , y>0 ,若目标函数z = ax + by(a>0 , b>0)的最大值为12 ,则 2a + 3b的最小值为 A . 4 B.83 C.113 D.256
11 ?过点P?1, 1作圆C : x ? t2 + y ? t + 22 = ltw R的切线，切点分别为A、B ,则PA—PB—的最小值为 A.103 B.403 C.214 D . 22 - 3
12 .已知函数fx = lnx + x-b2x(bGR).若存在xW12 , 2 ,使得f(x)>?x?f'(x),则实数b的取值范围是 A. - oo , 2 B. - 8,32 C.? 8,94 D. - oo , 3
选择题答题卡
题号 123456789 10 11 12 得分 答案 第□卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答?第22 ~ 23题为选考题，考生根 据要求作答.
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13 ?在一个盒子中有分别标有数字1,2,3,4的4张卡片，现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之和为 5的概率是 ______ ?
14 .在SBC 中，若zB = 60°, sin A = 13 , BC = 2 ,贝i| AC = ________ .
15 .已知函数fx = x , x
零点,则m的取值范围是 _______ ?
16 .给岀如下定理：\若RfABC斜边AB上的高为h ,则有lh2二1CA2 + 1CB2\.在空间四面体P - ABC中，若 PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h ,类比上述定理，得到的正确结论 ________________ ?
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17 .(本小题满分12分)
已知函数 f(x) = 2COSTT2 - xcos(2n - x).
(I)求函数f(x)的最小正周期；
(□)当XGO f TT2时，求函数y = f(x) + cos2x的最大值和最小值.
18.(本小题满分12分)
若数列伽｝是递增的等差数列，其中的a3 = 5,且al、a2、a5成等比数列?
(I)设 bn = l(an + l) (an + 1 + l)，求数列｛bn｝的前 n 项的和 Tn.
(口)是否存在自然数m ,使得m - 24 19 .(本小题满分12分) 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，MBE为等腰三角形,AE = BE,平面ABCD丄平面ABE ,点F在CE上，且 BF丄平面ACE. (I )判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由； (口)求点D到平面ACE的距离. 20.(本小题满分12分) 已知圆M : (x + 5)2 + y2 = 36, N(5,0),点P是圆M上的任意一点，线段NP的垂直平分线^半径MP相交于点Q. (I)当点P在圆M上运动时,试证明|QM| + |QN|为定值，并求出点Q的轨迹C的方程; (口)若圆x2 + y2 = 4的切线I与曲线C相交于A、B两点，求“AOB面积的最大值. 21.(本小题满分12分) 已知二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a , b , cWR)对任意实数x ,都有x (I)证明：f(l) = 1 ； (□)若f(?l) = O,求f(x)的表达式; (ID)在题(□)的条件下设g(x) = f(x) - m2x , xW[0 , + 8),若g(x)图象上的点都位于直线y= -34的上方，求实数m的 取 值范围。 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22 .(本小题满分10分)选修4?4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以原点0为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系?已知曲线C1的极坐标方程为p2 = 31 + 2cos2x ,直线I的极坐标方程为p = 4sin 0 + cos 0. (I )写出曲线Cl与直线I的直角坐标方程； (□)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线I距离的最小值. 23 .(本小题满分10分)选修4?5:不等式选讲 已知函数f(x) = x , x>llx , 0 (I )当a = 0时，若g(x)<|x -l| + b对任意xe(0, + 8)恒成立，求实数b的取值范围; (口)当a \时,求函数y = g(x)的最小值. 炎德?英才大联考湖南师大附中 2018年春季高二期末考试暨2019届高三摸底考试 数学(文科)参考答案 选择题 1 . B 【解析】由 M = {x-4 3. A【解析】因为复数z = (m2-l) + (m-l)i是纯虚数，则m2-l = 0m-1^0,显然m= -1 ,所以，\复数z = (m2 -l) + (m- l)i 是纯虚数”是\±1\的充分不必要条件.故答案选A. 4 . B【解析】双曲线x2a2?y2b2 = l(a>0, b> 0)的离心率是3 ,可得ca = 3二1 + ba2 ,「.ba = 22 ,则其渐近线的 方程 为：22x±y = 0，故选B. 5 . A 6 . D【解析】如图所示，该几何体为四棱锥，其中侧面ACBD丄底面PAB侧面ACBD为直角梯形，DA丄AB.该几彳 可 体的体积V“3x (1 + 2) x32x2 = 3?故答案选D. 7 . B 8 . B 9.C【解析】由程序框图可知，当输入的x的值为5时，第一次运行,x = 5-2 = 3;第二次运行,x = 3-2 = l;第 三次运行,x = l-2= -1 ,此时xsO ,退出循环，要使输出的y的值为13 ,只有C中的函数y = 3x符合要求. 10 . D【解析】由不等式组作岀可行域如图，由a>0 , b>0 ,可知当直线z = ax + by经过点P(4,6)时，z取得最大 值,由
湖南师大附中2019届高三数学摸底考试试卷(文科含答案)
