第三章 数系的扩充与复数的引入
【课题】：3.1.2 复数的几何意义
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了.
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数； （2）过程与方法：
在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解； （3）情感态度与价值观：
培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。
【教学重点】： 复数的代数形式和复数的向量表示. 【教学难点】： 复数的向量表示. 【课前准备】： powerpoint课件 【教学过程设计】： 教学环节 一、问题引入 二、学生活动 教学活动 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，那么复数是否也能用点来表示呢？ 问题1 复数相等的充要条件表明，任何一个复数a?bi都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一 一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？ 问题2 我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点、 A为终点的向量OA是一 一 对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？ 三、建构数学 师生共同活动： 设计意图 提出问题,激发学生学习兴趣 从实数的集合一一（用数轴上的点来表示）类比联想提出复数几何意义的问题后，让学生尝试、探索用直角坐标系中的点来表示复数 师生共同讨论,有助于学生对复数的1．在平面直角坐标系xOy中，以复数z?a?bi的实部a为横坐标、虚几何意义的理解 部b为纵坐标就确定了点Z(a,b)，我们可以用点Z(a,b)来表示复数 z?a?bi，这就是复数的几何意义。 2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面）， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴 上的点都表示纯虚数。 3．因为复平面内的点Z(a,b)与以原点0为起点、Z为终点的向量OZ一 一对应（实数0与零向量对应），所以我们也可以用向量OZ来表示复数 z?a?bi，这也是复数的几何意义。 y Z:a+bi Ox 4． 根据上面的讨论，我们可以得到复数z?a?bi、复平面内的点 （见下图）。今后，常把复数z?a?biZ(a,b)和平面向量OZ之间的关系 说成点Z或向量OZ（并且规定相等的向量表示同一个复数）。 用图形表示三者之 间的关系,使学生复数 加深印象. z?a?bi 一一对应 一一对应 复平面内 平面向量 的点 Z(a,b)OZ一一对应 5．相对于复数的代数形式z?a?bi，我们把点Z(a,b)称为复数z的几何形式，向量OZ称为复数z的向量形式。并且规定，相等的向量表示同一个复数。 四、数学运用 运用1 （1）例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数： 4，2+i，-i，-1+3i，3-2i. （2）P118练习1(口答) 问题3 我们知道任何一个实数都有绝对值，任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度.相应地,我们可以给出复数的模(或绝对值）的概念吗？ 通过例题的讲解和分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。 向量OZ的模叫做复数z?a?bi的模（或绝对值），记作︱z︱或 22︱a?bi︱。由模的定义可知︱z︱=︱a?bi︱=a?b。 运用2 例2 实数m取什么值时，复平面内表示复数 培养学生思维的灵z?(m2?8m?15)?(m2?5m?14)i的点 活性和深刻性。 （1）位于第四象限？ （2）位于第一、三象限？ （3）位于直线y?x上？ 巩固知识，培养技巩固练习： 能. 1.设z?log2(1?m)?ilog2(3?m)(m?R), (1)若z是虚数,求m的范围; (2)若z在复平面对应的点在第三象限,求m的范围. 2.在复平面内，O 是原点，向量oA对应的复数是2?i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量OB对应的复数; (2)如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复 数. 1.由实数用数轴上的点来表示,,类比联想到复数可用复平面上的点来表示,进而得到复数的向量形式,这是由一维到二维的联想,同时实现了从”数”到”形”的转化. 2．通过复数的几何意义的学习 ,体会数形结合的思想.复数作为一种新的数学语言,也将为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了可能. 回顾反思 五、小结
六、 作业
1、在复平面内，复数
i?(1?3i)2对应的点位于 （ B ） 1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、复数z??1?i?1,在复平面内，z所对应的点在 （ B ） 1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、 在复平面内指出与复数z1?1?2i,z2?2?3i,z3?3?2i,z4??2?i 对应的点
Z1,Z2,Z3,Z4.试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论.
解：因为
︱z1︱=12?22?5，︱z2︱=5，︱z3︱=5，︱z4︱=5，
所以，Z1,Z2,Z3,Z4这四个点都在以圆点为圆心，半径为5的圆上.
4、如果P是复平面内表示表示复数a+bi（a，b?R）的点，分别指出在下列条件下点P的位置： （！）a>0，b>0; (2) a<0,b>o; (3)a=0,b?0; (4)b<0. 解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上 （4）位于实轴下方 5、如果复数z的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数z对应的点应位于怎样的图形上？ 解：平面直角坐标系中以（0，3）为端点的一条射线，但不包括端点（0，3） 6、已知复数z的虚部为3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，求该复数z. 解：由已知，设z?a? 则a2?23i(a?R)
3?4.解得 a??1.
3i.
所以 z??1?
高中数学人教选修1-2教案 3.1.2复数的几何意义
