模型/题型：应用动量定理处理“流体模型”的冲击力问题
一、模型概述
1.研究对象：常常需要选取流体为研究对象，如水、空气等.
2.研究方法：隔离出一定形状的一部分流体作为研究对象，然后列式求解. 3.基本思路
(1)在极短时间Δt内，取一小柱体作为研究对象. (2)求小柱体的体积ΔV＝vSΔt
(3)求小柱体质量Δm＝ρΔV＝ρvSΔt
2
(4)求小柱体的动量变化Δp＝vΔm＝ρvSΔt (5)应用动量定理FΔt＝Δp
二、题型分类处理办法 模型一 流体类问题
通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ流体及其特点 建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为m＝ρSΔl＝ρSvΔt 流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt＝ΔmΔv，分两种情况： ① 分析 步骤 ② ③ (1)作用后流体微元停止，有Δv＝－v，代入上式有F＝－ρSv； (2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv＝－2v，代入上式有F＝－2ρSv. 22模型二 微粒类问题 微粒及其特点 ① 分析步骤 ② ③ 三、典型例题
1.(2016·全国卷Ⅰ·35(2))某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力.已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g.求：
(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；
(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度.
通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n 建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S 微元研究，作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算
v02M2g答案 (1)ρv0S (2) － 222
2g2ρv0S解析 (1)在刚喷出一段很短的Δt时间内，可认为喷出的水柱保持速度v0不变. 该时间内，喷出水柱高度Δl＝v0Δt 喷出水柱质量Δm＝ρΔV 其中ΔV为水柱体积，满足ΔV＝ΔlS 由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为 Δm＝ρv0S Δt(2)设玩具底板相对于喷口的高度为h 由玩具受力平衡得F冲＝Mg 其中，F冲为水柱对玩具底板的作用力 由牛顿第三定律：F压＝F冲 其中，F压为玩具底板对水柱的作用力，设v′为水柱到达玩具底面时的速度
22
由运动学公式：v′－v0＝－2gh 在很短Δt时间内，冲击玩具的水柱的质量为Δm Δm＝ρv0SΔt 由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱应用动量定理 (F压＋Δmg)Δt＝Δmv′ 由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略，⑧式变为 F压Δt＝Δmv′ 由④⑤⑥⑦⑨可得h＝
① ② ③
④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨
v0Mg－222 2g2ρv0S22
2.如图所示，由喷泉中喷出的水柱，把一个质量为M的垃圾桶倒顶在空中，水以速率v0、恒定
Δm
的质量增率(即单位时间喷出的质量)从地下射向空中.求垃圾桶可停留的最大高度.(设水柱喷
Δt
到桶底后以相同的速率反弹)
22
v0MgΔt2
答案 h＝－()
2g8Δm
解析 设垃圾桶可停留的最大高度为h，并设水柱到达h高处的速度为vt，则 22
v－v0＝－2gh
22
得v＝v0－2gh
由动量定理得，在极短时间Δt内，水受到的冲量为
Δm
FΔt＝2(·Δt)v
ΔtΔmΔm2
解得F＝2·vt＝2v0－2gh
ΔtΔt
据题意有F＝Mg
22
v0MgΔt2
联立解得h＝－()
2g8Δm
3. 有一宇宙飞船，它的正面面积S = 0.98m2，以v = 2×103 m/s的速度飞入一宇宙微粒尘区，此尘区每立方米空间有一个微粒，微粒的平均质量m = 2×10﹣7 kg，要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船外壳碰撞后附于飞船上）。 答案 0.78N
解析 选在时间△t内与飞船碰撞的微粒为研究对象，其质量应等于底面积为S，高为v△t的圆柱体内微粒的质量 M=mSv△t，初动量为0，末动量为mv。
设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得：F?△t=Mv﹣0
则 F===mSv；
2
根据牛顿第三定律可知，微粒对飞船的撞击力大小也等于mSv，则飞船要保持原速度匀速飞行牵引力应增加F′
2
=F=mSv；
2
代入数据得：F′=2×10﹣4×10﹣3×0.98×（2×103）2N=0.78N
高中物理模型：应用动量定理解决流体模型的冲击力问题
