第七章 无穷级数
一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：
n?1aq??1、形如n?1发散。
的几何级数（等比级数）：当q?1时收敛，当q?1时
2、形如3、n???nn?1?1p的P级数：当p?1时收敛，当p?1时发散。 级数发散； 级数收敛
limUn?0??limUn?0n??
4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数
Un?1?ln??Un条件：
lim?Un?1?n，满足
?当l?1时，级数收敛；
?当l?1时，级数发散（或l???）； ?当l?1时，无法判断。
5、根值判别法（适用于含有因式的n次幂）：若正项级数n?1条件n??limnUn???U?n，满足
：
?当??1时，级数收敛；
?当??1时，级数发散（或????）； ?当??1时，无法判断。 注：当l?1,??1时，方法失灵。
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）
推论：若n?1性的级数)
?Un?与n?1?Vn?Un?ln??Vn均为正项级数，且（Vn是已知敛散
lim ?若0?l???，则级数n?1?U?n与
?Vn?1?n有相同的敛散性；
?? ?若l?0且级数?VnUn?1收敛，则级数
?nn?1收敛；
?? ?若l???且级数?Vnnn?1发散，则级数
?Un?1发散。
7、定义判断：若nlim??Sn?C?收敛，若limn??Sn无极限?发散。8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）： 满足
Un?Un?1，nlim??Un?0?收敛，其和S?u1。
9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。 条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。
二、无穷级数的基本性质：
1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。 ?2、收敛的无穷级数
?Unnn?1，其和为S，则??aUn?1，其和为aS （级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变） 3、?级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。
（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散） ?加括号后级数收敛，原级数未必收敛。
a?0）
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