【高考领航】高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 7.3 空间图形
的基本关系及公理课时规范训练 文 北师大版
[A级 基础演练]
1．(2016·台州模拟)以下四个命题中： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．
答案：B
2．(2016·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，aα，aβ，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 C．平行或异面
B．相交或异面 D．相交、平行或异面
解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D. 答案：D
3．(2016·信阳模拟)平面α、β的公共点多于两个，则 ①α、β垂直；
②α、β至少有三个公共点； ③α、β至少有一条公共直线； ④α、β至多有一条公共直线；
以上四个判断中不成立的个数为n，则n等于( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：由条件知当平面α、β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α、β相
交；若公共点不共线，则α、β重合．故①不一定成立；②成立；③成立；④不成立．
答案：C
4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，
lβ，则( )
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 解析：结合给出的已
知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出． 根据所给的已知条件作图，如图所示．
由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D. 答案：D
5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
解析：取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
答案：4
6．(2016·济南一模)在正四棱锥V-ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为__________．
解析：如图，设AC∩BD＝O，连接VO，因为四棱锥V-ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面
ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，又因为VO∩AC＝O，所以BD⊥平
π
面VAC，所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.
2
π答案：
2
7．(2016·宜城模拟)已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
1313
(1)E、F、G、H四点共面； (2)三直线FH、EG、AC共点．
证明：(1)连接EF、GH. 由E、F分别为AB、AD的中点， 111
∴EF綊BD，又CG＝BC，CH＝DC，
2331
∴HG綊BD，
3∴EF∥HG且EF≠HG. ∴EF、HG可确定平面α， 即E、F、G、H四点共面． (2)由(1)知：EFHG为平面图形， 且EF∥HG，EF≠HG. ∴四边形EFHG为梯形， 设直线FH∩直线EG＝O，
∵点O∈直线FH，直线FH面ACD， ∴点O∈平面ACD. 同理点O∈平面ABC. 又∵面ACD∩面ABC＝AC，
∴点O∈直线AC(公理3)．
∴直线FH、EG、AC交于点O，即三直线共点．
8．已知ABCD－A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1＝2，求
(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值； (2)四面体AB1D1C的体积． 解：(1)连BD，AB1，B1D1，AD1.
∵BD∥B1D1，∴异面直线BD与AB1所成角为∠AB1D1(或其补角)，记∠AB1D1＝θ，
由已知条件得AB1＝AD1＝5， 在△AB1D1中，由余弦定理得
22
AB2101＋B1D1－AD1
cos θ＝＝
2·AB1·B1D110
∴异面直线BD与AB1所成角的余弦值为
10
. 10
1
(2)连接AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积，V＝VABCD－A1B1C1D1－4VC－B1C1D1＝2－4×
32＝. 3
[B级 能力突破]
1．(2014·高考辽宁卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，nα，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n∥α
解析：利用直线与平面平行和垂直的判定定理直接判断或利用正方体判断． 法一：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；
若m⊥α，nα，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或nα，C错；
若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能nα，D错．
法二：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.
A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．
B项中，m⊥α，nα，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确． C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但nα，故C错． D项中，若m为A′B′，n为B′B，满足m∥α，m⊥n，但n⊥α，故D错． 答案：B
2．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是( )
A．(0，2) C．(1，2)
B．(0，3) D．(1，3)
解析：根据题意构造四面体ABCD，AB＝a，CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝1，取CD中点E，连结BE，AE，则AE＝BE＝
222
.又∵a＜＋＝2，∴0＜a＜2.故选A. 222
答案：A
3．(2016·天津和平模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为( )
1
A. 5
B.310
10
【高考领航】高考数学大一轮复习第七章立体几何空间图形的基本关系及公理规范训练文北师大版
