定积分计算公式和性质
Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
第二节 定积分计算公式和性质
一、变上限函数
设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间
上的定积分为
这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为
如果上限x在区
x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在数
，我们把
称为函数
在区间
间上任意变动，则对于每一个取定的
上定义了一个以x为自变量的函
上变上限函数
记为图 5-10
从几何上看，也很显然。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边
梯形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x的函数（见图5-10）
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度
作直线运动，那么在时间区间
上所经过
的路程s为图 5-11
，那么物体从t=a到t=b
另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数所经过的路程应该是（见图5-11）
即
由导数的物理意义可知：
即
是
一个原函数，因此，为了求出定积
分，应先求出被积函数即可。
的原函数，再求在区间上的增量
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分设函数
，则
在闭区间
上连续，
是
的一般方法：
的一个原函数，即
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成
牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算
因为是的一个原函数所以
例
图形面积A(5-12)
解 这个图形的面积为
2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成
图 5-12
二、定积分的性质
设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个
简单性质：
性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即
(A为常数)
性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即
这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即
以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
性质4 如果将区间
分成两个子区间
及
那么有
这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。 当a 与和x=a x=b及x轴围成的曲边梯形面积 : 图 5-13a 图 5-13b 因 为 即性质4成立。 当a 外，由图5-13b可知， 显然，性质4也成立。 总之，不论c点在 内还是 外，性质4总是成立的。 例3 求 例 4 求 解 = 所以
定积分计算公式和性质
