长方体与正方体（一）
对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．
例题精讲
如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．
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①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体?2(ab?bc?ca)； 长方体的体积：V长方体?abc．
③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S正方体?6a2，V正方体?a3．
板块一 长方体与正方体的表面积
【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？
后面上面左面前面下面右面
【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左
面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1?1?1?2?2?1?8(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱6?6?6?18(条)．
【答案】8个面，18条棱
【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？
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【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 9个面，21条棱． 【答案】9个面，21条棱
【例 2】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何
体的表面积是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10?10?6?600． 【答案】600
【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下
的立体图形的表面积是多少？
【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积
不变：50?50?6?15000(平方厘米)．
【答案】15000
【例 3】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它
的表面积减少了多少?
【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 原来正方体的表面积为5?5?6?150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们
的面积为(3?2)?2?12，所以减少的面积就是12．
【答案】12
【例 4】 如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它
的表面积减少了百分之几?
【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】奥林匹克，初赛，10题
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【解析】 原来正方体的表面积为5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面
积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八．
【答案】百分之八
【例 5】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘
米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）
【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 原正方体的表面积是4?4?6?96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又
增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．
从而，它的表面积是：96?4?6?120平方厘米．
【答案】120
【例 6】 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小
立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 大立方体的表面积是20?20?6?2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但
里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454?2400)?6?9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．
【答案】3
【例 7】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体
1小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法
24-5-1.长方体与正方体（一） 题库 page 3 of 29 和前两个相同为
1厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 4
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2?2?2?8(平方厘米)；左右方向、前
11后方向：2?2?4?16(平方厘米)，1?1?4?4(平方厘米)，??4?1(平方厘米)，
2211111??4?(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：8?16?4?1??29(平方厘米). 444441【答案】29
4
【例 8】 从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下
部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】小学生数学报 【解析】 按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．
图1 图2 图3 【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；
按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米； 按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米； 按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．
图4
图1 图2 图3 图4
【例 9】 一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小
正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？
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【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯 【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要
使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是： 15?15?6?7?7?2?1252．想想为什么不是15?15?6?7?7?8?8 ？
【答案】1252
【例 10】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的
表面积之和是 平方厘米．
86667
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：
（8?7?6?6）?2?6?（1?6?6?6?1?7?8?7）?292(平方厘米)．
也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个6?6的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个6?6的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为?8?7?8?6?7?6??2?292(平方厘米)． 【答案】292
【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正
方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？
【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:12?7:5:4，为了方便起见.我们先考虑长、
宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为7?5?4,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.
剩下的体积应是21?15?12?123?93?63?1107（平方厘米）.
【答案】1107
【例 11】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4
小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？
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小学奥数 4-5-1 长方体与正方体（一）.教师版
