第1节 平面向量的概念及线性运算
考试要求 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示和基本要素；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知 识 梳 理
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律： 加法 求两个向量和的运算 减去一个向量相减法 当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b) a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向数乘 求实数λ与向量a的积的运算 与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. [微点提醒]
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向→→→→
量终点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
→＝1(OA→＋OB→).
2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP
2
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )
(3)向量AB
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( ) 解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.(必修4P78A6改编)给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若→与BA→相等.则所有正确命题的序号是( )
a，b都是单位向量，则a＝b；③向量ABA.①
B.③
C.①③
D.①② λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模→与BA→
相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB互为相反向量，故③错误. 答案 A
3.(必修4P92A12改编)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形→＋OB→＋OC→＋OD→等于( )
ABCD所在平面内任意一点，则OA→ A.OM→ C.3OM
→ B.2OM→ D.4OM
→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.
解析 OA答案 D
→＝3BC→，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则下列等
4.(2019·东莞调研)如图所示，已知AC式中成立的是( )
31A.c＝2b－2a B.c＝2b－a C.c＝2a－b 31D.c＝2a－2b
→＝3BC→，→＝a，→＝b，→＝OA→＋AC→＝OA→＋3AB→＝OA→＋3(OB→
解析 因为ACOAOB所以OC
22→)＝3OB→－1OA→＝3b－1a.
－OA
2222答案 A
→＝1BC→且|AB→|＝|DC→|，则四边形
5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD满足AD
2ABCD的形状是( )
2020年高考数学一轮教案：第六章 第1节
