2013年全国高中数学联赛加试试题（word版）及答案 

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题

一、（本题满分40分）如图，AB是圆?的一条弦，P为弧AB内一点，E,F为线段AB 上两点，满足AE?EF?FB.连接PE,PF并延长，与圆?分别相交于点C,D.求证：

? EF?CD

AC?B D .

二、（本题满分40分）给定正整数u,v.数列{an}定义如下：a1?u?v，对整数m?1， ??a2m?am?u,

?a2m?1?am?v. 记Sm?a1?a2???am（m?1,2,?）.证明：数列{Sn}中有无穷多项是完全平方数.

三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m,n?2为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分.每个学生的总分为其m道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为p1?p2???pn，求p1?pn的最大可能值.

四、（本题满分50分）设n,k为大于1的整数，n?2.证明：存在2k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被n整除.

1

k

2

3

4

5

6