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三角函数知识点总结
1、任意角：
正角： ；负角： ；零角： ；
2、角?的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．
第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x轴上的角的集合为 终边在y轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角?终边相同的角的集合为
?4、已知?是第几象限角，确定?n??*?所在象限的方法：先把各象限均分n等份，
n再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则?原来是第几象
?限对应的标号即为终边所落在的区域．
n5、 叫做1弧度．
6、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是 ． 7、弧度制与角度制的换算公式：
8、若扇形的圆心角为???为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l= ．S=
9、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标是?x,y?，它与原点的距
yxy，cos??，tan???x?0?． rrx10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：．
12、同角三角函数的基本关系：(1) ;
(2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式：
离是rr?x2?y2?0，则sin?????1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?．
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?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．
??????，5sin???cos?cos?????????sin?．
?2??2??6?sin??????????cos?，cos??????sin?． ?2??2??口诀：奇变偶不变，符号看象限． 重要公式
⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?；⑷sin??????sin?cos??cos?sin?； ⑸tan??????tan??tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；
1?tan?tan?tan??tan?（tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．
1?tan?tan?⑹tan??????二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴
sin2??2sin?cos?．(2)
cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?2（cos??2tan?cos2??11?cos2?2tan2??sin??，）．⑶．
1?tan2?22公式的变形：
tan??tan??tan(???)??1?tan?tan??，
辅助角公式
?sin???cos???2??2sin?????，其中tan???． ?14、函数y?sinx的图象平移变换变成函数y??sin??x???的图象． 15.函数y??sin??x??????0,??0?的性质：
①振幅：?；②周期：??2??；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?． ?2?
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16．图像 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
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三角函数题型分类总结
一．求值
1、sin330?= tan690° = sin585= o2、（1）(07全国Ⅰ) ?是第四象限角，cos??（2）（09北京文）若sin???12，则sin?? 134,tan??0，则cos?? . 512（3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，cotA??，则cosA? .
515???)= (4) ?是第三象限角，sin(???)?，则cos?= cos(223、(1) (07陕西) 已知sin??5,则sin4??cos4?= . 53?，则2cos(??)= . 54(2)（04全国文）设??(0,)，若sin???2（3）（06福建）已知??(?3?,?),sin??,则tan(??)= 2543的是( ) 24（07重庆）下列各式中，值为
（A）2sin15?cos15? （B）cos215??sin215?（C）2sin215??1（D）sin215??cos215? 5. (1)(07福建) sin15cos75?cos15sin105= (2)（06陕西）cos43cos77?sin43cos167= 。 （3）sin163sin223?sin253sin313? 。 6.(1) 若sinθ＋cosθ＝
oooo1，则sin 2θ= 5?3 （2）已知sin(?x)?，则sin2x的值为
45 (3) 若tan??2 ,则
sin??cos?=
sin??cos?，?2)，则cos?= tan2?= 7. （08北京）若角?的终边经过点P(18．（07浙江）已知cos(?2??)??3，且|?|?，则tan?＝
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9.若
cos2?2，则cos??sin?= ??π2??sin????4??10.（09重庆文）下列关系式中正确的是 （ ）
A．sin11?cos10?sin168 B．sin168?sin11?cos10 C．sin11?sin168?cos10 D．sin168?cos10?sin11
0000000000003，则sin2??cos2?的值为 （ ）
2571697A． B．? C． D．?
2525252512??12．已知sinθ=－，θ∈（－，0），则cos（θ－）的值为 （ ）
132411．已知cos(???)?7272 B． 262613．已知f（cosx）=cos3x，则f（sin30
A．－
A．1
B．
C．－
172172 D． 2626 （ ）
3 C．0 D．－1 222，cosx－cosy= ，且x，y为锐角，则tan(x－y)的值是 ( ) 3314．已知sinx－siny= － A．
214214214514 B． － C．± D．? 5552815．已知tan160o＝a，则sin2000o的值是 ( )
aa11
A. B.－ C. D.－ 1＋a21＋a21＋a21＋a216.?tanx?cotx?cosx? ( )
2 （Ａ）tanx （Ｂ）sinx （Ｃ）cosx （Ｄ）cotx 17.若0???2?,sin??3cos?，则?的取值范围是： ( ) （Ａ）??????????4?,? （Ｂ）?,?? （Ｃ）?,?3??32??33???3? （Ｄ）??,??32?? ?18.已知cos（α-
π47π3,则sin(α?)的值是 ( ) ）+sinα=
656 （A）-
442323 （B） (C)- (D)
555519.若cosa?2sina??5,则tana= （ ）
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（A）
11 （B）2 （C）? （D）?2 22 B. 13?sin70020.= A. 2024?cos10二.最值
2 2 C. 2 D. 3 21.（09福建）函数f(x)?sinxcosx最小值是= 。
2.①（08全国二）．函数f(x)?sinx?cosx的最大值为 。 ?
②（08上海）函数f(x)＝3sin x +sin(+x)的最大值是
2③（09江西）若函数f(x)?(1?3tanx)cosx，0?x??2，则f(x)的最大值为 3.（08海南）函数f(x)?cos2x?2sinx的最小值为 最大值为 。 4.（09上海）函数y?2cos2x?sin2x的最小值是 . 5．（06年福建）已知函数f(x)?2sin?x(??0)在区间??小值等于
????,?上的最小值是?2，则?的最?34?2sin2x?1???6.（08辽宁）设x??0，?，则函数y?的最小值为 ．
sin2x?2??
7.函数f(x)＝3sin x +sin(+x)的最大值是
2
8．将函数y?sinx?3cosx的图像向右平移了n个单位，所得图像关于y轴对称，则n的最小正值是 A．
7ππππ B． C． D． 63629.若动直线x?a与函数f(x)?sinx和g(x)?cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为（ ） A．1 10．函数y=sin（
4 B．2 x+θ）cos（
2C．3
D．2
?2?23x+θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是
4（ ） A．? B．? 11.函数
C．2? D．3?
f(x?)2s?ixn????3x在si区xn间c?o,s??42?上的最大值是
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( )A.1 B.1?3 2 C.
3 2D.1+3
12.求函数y?7?4sinxcosx?4cos2x?4cos4x的最大值与最小值。
三.单调性
1.（04天津）函数y?2sin( A. [0,
?6?2x)(x?[0,?])为增函数的区间是 （ ）.
?5??7??5?] B. [,] C. [,] D. [,?] 361212362.函数y?sinx的一个单调增区间是 （ ）
A．??，? B．?，?
??????????3??????C．??，?
???????D．??3??，2?? ???3.函数f(x)?sinx?3cosx(x?[??,0])的单调递增区间是 （ ） A．[??,?5?5????] B．[?,?] C．[?,0] D．[?,0] 666364．（07天津卷） 设函数f(x)?sin?x??????(x?R)，则f(x) （ ） 3?
B．在区间???，?A．在区间??2?7??，?上是增函数 36????????2
????上是减函数 2??C．在区间?，?上是增函数
34
D．在区间?，?上是减函数
36??5????5.函数y?2cosx的一个单调增区间是 ( ) A．(??????3?,) B．(0,) C．(,) D．(,?)
22444444
6．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f(??x)= f(??x)，则f(x)的解析式可以是
（ ）
A．f(x)=cosx B．f(x)=cos(2x?四.周期性
1．（07江苏卷）下列函数中，周期为
?2) C．f(x)=sin(4x??2) D．f(x) =cos6x
?的是 （ ） 2xxA．y?sin B．y?sin2x C．y?cos D．y?cos4x
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2.（08江苏）f?x??cos??x?????6??的最小正周期为
?，其中??0，则?= 5x24.（1）（04北京）函数f(x)?sinxcosx的最小正周期是 .
3.（04全国）函数y?|sin|的最小正周期是（ ）.
（2）（04江苏）函数y?2cos2x?1(x?R)的最小正周期为（ ）. 5.（1）函数f(x)?sin2x?cos2x的最小正周期是
(2)（09江西文）函数f(x)?(1?3tanx)cosx的最小正周期为 (3). （08广东）函数f(x)?(sinx?cosx)sinx的最小正周期是 ． (4)（04年北京卷.理9）函数f(x)?cos2x?23sinxcosx的最小正周期是 . 6.(09年广东文)函数y?2cos(x?2?4)?1是 ( )
A．最小正周期为?的奇函数 B. 最小正周期为?的偶函数 C. 最小正周期为
??的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
2227.（浙江卷2）函数y?(sinx?cosx)?1的最小正周期是 .
x18．函数f(x)??cos2wx(w?0)的周期与函数g(x)?tan的周期相等，则w等于（ ）
2311(A)2 (B)1 (C) ( D)
24五.对称性
1.（08安徽）函数y?sin(2x?A．x???3)图像的对称轴方程可能是 （ ）
C．x??6
B．x???12?6
D．x??12
2．下列函数中，图象关于直线x?Ay?sin(2x??3对称的是 （ ）
?3) By?sin(2x??6) Cy?sin(2x??x?) Dy?sin(?) 6263．（07福建）函数y?sin?2x???π??的图象 （ ） 3?π对称 40?对称 Ａ．关于点?，
?π?3??Ｂ．关于直线x?精彩文档
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Ｃ．关于点?，0?对称
?π
?4
??
Ｄ．关于直线x?π对称 34?,0)中心对称，那么?的最小值为 3????（ ） (A) (B) (C) (D)
64322?4.（09全国）如果函数y?3cos(2x??)的图像关于点(5．已知函数y=2sinwx的图象与直线y+2=0的相邻两个公共点之间的距离为（ ）A．3 B．六.图象平移与变换
1.（08福建）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移解析式为
2.（08天津）把函数y?sinx（x?R）的图象上所有点向左平行移动图象上所有点的横坐标缩短到原来的
3，则w的值为
32 C． 23D．
1 3?个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的2?个单位长度，再把所得31倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 23.(09山东)将函数y?sin2x的图象向左平移解析式是
?个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数44.(09湖南)将函数y=sinx的图象向左平移?(0 ??＜2?)的单位后，得到函数y=sin(x?图象，则?等于 5．要得到函数y?sin(2x??)的6?4)的图象，需将函数y?sin2x的图象向 平移 个单位
6 （2）（全国一8）为得到函数y?cos?2x?向 平移 个单位 （3）为了得到函数y?sin(2x? 个单位长度
7.（2009天津卷文）已知函数f(x)?sin(wx???π??的图像，只需将函数y?sin2x的图像 3??6)的图象，可以将函数y?cos2x的图象向 平移
?4)(x?R,w?0)的最小正周期为?，将y?f(x)的图像向左平移|?|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则A
?的一个值是
?3??? B C D 28488.将函数 y = 3 cos x－sin x 的图象向左平移 m（m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是 （ ）
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A. B.
63
?? C.
2?5? D. 36
11．将函数y=f（x）sinx的图象向右平移
2
?个单位，再作关于x轴的对称曲线，得到函数y=1－4x
）
2sinx的图象，则f（（ ）A．cosx B．2cosx C．Sinx D．2sinx 七.图象 1．（07（ ）
宁夏、海南卷）函数y?si?nx?2是
??π??π?在区间的简图是 ，π???3??2?y?1?? ?3O2 ?61?y ?6x Ａ．y?? 1 ??O??23? 1 ?x Ｂ．
???O612? Ｃ．
1 ?3? x ??2?1 ? 6Oy? 1?3 Ｄ．
?x 2（浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数
y?cos(1x3??)(x?[0，2?])的图象和直线y?的交点个数
222是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
3.已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0，2π]的图像如下：那么ω=
（ ）
A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 1/3 4．（2006年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ）
?????? （B）y?sin2x???? 6?6?????????（C）y?cos?4x?? （D）y?cos?2x??
3?6???5.（2009江苏卷）函数y?Asin(?x??)（A,?,?为常数，
（A）y?sin?x?A?0,??0）在闭区间[??,0]上的图象如图所示，则
?= .
6.（2009宁夏海南卷文）已知函数f(x)?2sin(?x??)的图像
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如图所示，则f??7??12??? 。 ?π5π
－，?上的图象，为了得到这个函数的7．(2010·天津)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间??66?图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点 π1
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
32π
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3π1
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
62π
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
6
ππ
2x－?的图象，只需把函数y＝sin?2x＋?的图象 8．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y＝sin?3?6???ππ
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
44ππ
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
22π
ω>0，|φ|
ππ
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ 66π
C．ω＝2，φ＝
6
π
D．ω＝2，φ＝－ 6
ππ
x－?cos?x－?，则下列判断正确的是 10．已知函数y＝sin??12??12?π?A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是??12，0? π?B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是??12，0? π?
C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是??6，0? π?D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是??6，0?
π
11．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则实数a的值为 ( )
8 A.2 B．－2 C．1 D．－1
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π
ωx－?(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相12．(2010·福建)已知函数f(x)＝3sin?6??π
0，?，则f(x)的取值范围是________． 同．若x∈??2?1
13．设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，An，….则A50
2的坐标是________．
π
x＋?的图象向左平移m个单位(m>0)，所得图象关于y轴对称，则m的最小值14．把函数y＝cos??3?是________．
15．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．已知集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，则M×N所对应的图形的面积为________．
16.若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．
π1?17．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M??3，2?.
(1)求f(x)的解析式；
π312
0，?，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值． (2)已知α，β∈??2?513
ππ111
＋φ?(0<φ<π)，其图象过点?，?. 18．(2010·山东)已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin???62?22?2
(1)求φ的值；
1
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的
2π??0，图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值． ?4?九..综合
1. （04年天津）定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?，
5?)的值为 32??2．(04年广东)函数f(x)f（x）是 ?sin2（x?）?sin2（x?）且当x?[0,?]时，f(x)?sinx，则f(4
A．周期为?的偶函数 C． 周期为2?的偶函数
4B．周期为?的奇函数 D．.周期为2?的奇函数
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3．（ 09四川）已知函数f(x)?sin(x??2)(x?R)，下面结论错误的是 ．．
A. 函数f(x)的最小正周期为2? B. 函数f(x)在区间［0，
?］上是增函数 2 C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D. 函数f(x)是奇函数 4．(07安徽卷) 函数f(x)?3sin(2x?①图象C关于直线x??3)的图象为C, 如下结论中正确的是
2?11?对称; ②图象C关于点(,0)对称;
312?5?③函数f(x)在区间(?,)内是增函数;
1212?④由y?3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
325.（08广东卷）已知函数f(x)?(1?cos2x)sinx,x?R，则f(x)是 （ ）
?的奇函数 2?C、最小正周期为?的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
21x3?)(x?[0，2?])的图象和直线y?的交点个数6.在同一平面直角坐标系中，函数y?cos(?222A、最小正周期为?的奇函数 B、最小正周期为是（ ）0 （B）1 （C）2 （D）4 7．若α是第三象限角，且cos
?2<0，则
?2是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
8．已知函数f(x)?2sin(?x??)对任意x都有f(A、2或0 B、?2或2 C、0 D、?2或0 十.解答题
6.（2009福建卷文）已知函数f(x)?sin(?x??),其中??0，|?|? （I）若cos????x)?f(?x)，则f()等于
666? 2?4cos,??sin??sin??0,求?的值； 4 （Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f(x)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
?，求函数f(x)3的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图像象左平移m个单位所对应的函数是偶函数。
27.已知函数f(x)?sin精彩文档
???x?3sin?xsin??x??（??0）的最小正周期为π．
2??π实用标准文案
（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围．
38.知函数f(x)?2cos2?x?2sin?xcos?x?1（x?R,??0）的最小值正周期是（Ⅰ）求?的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合． 9.已知函数f(x)?cos(2x??2π????． 2?)?2sin(x?)sin(x?) 344??（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[?,]上的值域 122??10.已知函数f(x)＝3sin(?x??)?cos(?x??)(0???π,??0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（Ⅰ求f（
π. 2π）的值； 8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原6（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移
来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
????11.已知向量a?(3sinx,cosx)，b?(cosx,cosx)，记函数f(x)?a?b。
（1）求函数f(x) 的最小正周期；
（2）求函数f(x)的最大值，并求此时x的值。
12（04年重庆卷.文理17）求函数y?sin4x?23sinxcosx?cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,?]的单调递增区间.
14.（2009陕西卷文） 已知函数f(x)?Asin(?x??),x?R（其中A?0,??0,0???的周期为?，且图象上一个最低点为M(?2）
2?,?2). 3 (Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x?[0,
?12]，求f(x)的最值.
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必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类的总结
