平面向量的数量积及平面向量的应用
一、目标认知 学习目标：
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
重点：
数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.
难点：
用向量的方法解决几何、物理等问题.
二、知识要点梳理
知识点一： 平面向量的数量积
1.平面向量数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量有
叫与的数量积，记作
，即
.并规定与任何向量的数量积为0.
叫做向量在方向上的投影.
2.一向量在另一向量方向上的投影： 要点诠释：
1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 (2)两个向量的数量积称为内积，写成的
数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×” 代替. (3)在实数中，若推出
，且
，则
；但是在数量积中，若
，且
，不能
的符号所决定.
，而
是两个向量
；今后要学到两个向量的外积
1 / 1
.因为其中
有可能为0.
2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为
；当=180°时投影为
.
知识点二：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量. 1. 2.
3.当与同向时，
；当与反向时，
. 特别的
或
4. 5.
知识点三：向量数量积的运算律
1.交换律： 2.数乘结合律： 3.分配律： 要点诠释：
1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc 2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是
a=c.但是
；
般
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一与不共线.
知识点四：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量
，
2.设
，则
，
或
、
，那么
3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为
(平面内两点间的距离公式).
三、规律方法指导 1.向量在几何中的应用：
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
(3)求夹角问题，利用 (4)求线段的长度，可以利用
或
2.向量在物理中的应用：
(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； (2)向量在速度分解与合成中的作用.
经典例题透析
类型一：数量积的运算
① ③
1．已知下列命题：
； ②
； ④
；
其中正确命题序号是___________.
高一必修4平面向量的数量积及平面向量的应用
