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《等差数列的前n项和公式》教学设计
一、教学内容分析
《等差数列的前n项和公式》是高等教育出版社数学基础模块下册第六章的重要内容之一，本节课主要研究如何应用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法。它反映了从特殊到一般的数学思维形式，这对发展学生的思维能力、培养学生的创新意识等方面有着重要的作用。
二、学情分析
任教的班级是一年级物流专业。
1、知识基础：在本节课之前学生已经掌握了等差数列的通项公式，理解等差数列的基本性质，小学时对高斯算法有所了解，这三者形成了学生思维的“最近发展区”，为新课学习提供了基础；
2、认知水平与能力：学生初步具有一定的逻辑思维能力，但思维不够深刻、片面、不严谨，对问题解决的一般性思维过程认识模糊．
3、班级学生特点：多数学生能积极主动参与数学学习，动手操作能力较强。但缺乏自信，同时渴望表现，渴望肯定。
三、设计思想
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的生成与发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根据教学内容，从《张丘建算经》中等差数列的求和问题及泰姬陵陵寝三角形图案中的圆宝石谈起，结合小学高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．以问题驱动任务完成为主线，通过设计一些从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象的问题，层层铺垫，步步深入，组织和启发学生通过观察、类比、联想、猜测、实践操作获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．
四、教学目标
1、知识目标： 掌握等差数列的前n项和公式，并能用公式解决简单的问题；
2、能力目标： 通过公式的探索、发现，体验从特殊到一般的研究方法，培养学生观察猜想、类比分析、归纳总 结和逻辑推理的能力，渗透方程（组）思想.
3、情感目标： 通过生动有趣的数学史故事，激发学生求知的欲望和探究的热情，渗透数学文化，增强学生爱国主义情感。
五、教学重点和难点
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重点：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些简单问题；
难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得； 关键点：首尾配对法引出倒序相加法.
六、教学过程设计
（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验
上节课同学们已经学习了等差数列的概念、通项公式和性质。其实，早在我国北朝时，张丘建在《张丘建算经》中就给出了等差数列的一些问题，例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？这个涉及等差数列求和问题，本节课学习《等差数列前n项和公式》。
世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
这个问题化为数学问题就是求1+2+3+……+100=？
200多年前，被誉为“数学王子”的德国数学家高斯在10岁时，当老师提出这个问题后，很快就说出了答案，这是小学时就知道的一个故事，高斯的算法非常高明，请你想想他是怎样算的？
[学情预设]
方案一：1+2+3+4……+100=5050（逐个求和）。点评：方法可行，但是对于项数较多或数字较大的数列求和则不方便。
方案二：（1+100）+（2+99）+（3+98）……+（50+51）=101?50=5050 点评：方法巧妙。高斯就是这种方法。 方案三：利用计算机“Excel”中的“∑”求得结果。点评：此法具有时代性，符合专业特点。
【设计意图】情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境”相联系．通过富于人文气息的历史素材和有趣的数学史故事，激发学生求知的欲望和探究的热情，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．同时，方案三的提出使得教学具有针对性、时代性，体现职业教育课改理念。
（二）由易到难，在自主探究与合作中学习 问题1：第1层到第51层一共有多少颗宝石？
该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现． [学情预设] 学生可能出现以下求法
方法1：原式＝（1＋2＋…＋25＋27…＋51）＋26 方法2：原式＝（1＋2＋3＋……＋50）＋51 方法3：原式＝（1＋2＋……＋50＋51+52）—52 方法4：原式＝0＋1＋2＋……＋50＋51
学生若将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．
【设计意图】这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．
问题2：求1+2+???+n=？
[学情预设] 学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师精品文档
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如何引导学生避免讨论成为该环节的关键．
启发：让学生利用班级收集起来的矿泉水瓶，摆出等差数列求和模型。引导学生理解高斯首尾配对法是“首尾配”，也可说是“尾首配”。鼓励学生操作，尝试完成“首尾配”；（多媒体演示）在建筑中堆放的钢材形成的三角形图案 左侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．
通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
∵1 + 2 + 3 +…（n－1） + n n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1 ___________________________________________ (n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1) ∴1?2?3?????n?n(n?1) 2【设计意图】在动手操作过程中，借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型。实现“做中学、做中教”的课改理念。该方法在生活中也有应用，体现教学贴近学生、贴近生活、贴近专业“三贴近”原则，进一步体会倒序相加法的合理性。
问题3： 在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？
让学生观察问题2的结果猜测求和公式，鼓励学生类比问题2的解决方法完成对公式的推导。由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：
2Sn?(a?a)?(a1?an)?????(a1?an)方案一：1 144n444424444443∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +…+[a1+(n－1)d] Sn=an + (an－d) +（an－2d）+…+[an－(n－1)d] ∴
n个n(a1?an)得：S? n (公式1)
2
Sn?an?an?1???a2?a1
方案二：
?Sn?a1?a2???an?1?an
若m+n=p+q,则am+an=ap+aq ?2Sn?(a1?an)?(a2?an?1)???(an?a1)
a n ) （公式2） 得： S ? n ( a 1 ? n2
组织学生讨论：在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式? 精品文档
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即：
【设计意图】在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“提出问题—分析问题—解决问题”的过程.
【归纳小结】等差数列前n项和公式:
师生共同剖析公式结构特点，明确知三求Sn,并引导学生由公式的结构特征类比联想到梯形面积公式. 【设计意图】利用图形的直观性，深化对公式的记忆与理解。
Sn?n(a1?an)2Sn?na1?n(n?1)d2（三）设置典例，促进学生对公式的应用
例1、在等差数列｛an｝中，
（1）已知：a1=1，a10=10，求S10 ; （2）已知：a1=3，d = -2，求S10 例2、已知等差数列｛an｝中，d=2，an=1，Sn= -8，求n.
小结：在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素. 【设计意图】“顺”用公式，让学生熟悉公式的要素与结构，加深对公式的基本量意义的认识； “变”用公式可以培养学生思维的高度灵活性,渗透方程思想;小结及时给学生学法指导.
（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握
1、教材P10练习；
2、下面，大家试着给同桌出一个等差数列，然后用公式求出它的前n项和。
典型展示：（1）1+2+3+……+n=？（2）1+3+5+……+（2n-1）=？（3）2+4+6+……+2n=？
【设计意图】拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念。
n(n?1)d2 3、《张丘建算经》中关于等差数列求和问题：“今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末
Sn?na1?一日织一尺，共织三十日，问共织几何？”。
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(5?1)?30） ?90（术曰：并初、末织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。
2【设计意图】体会付出就有回报。
（五）回顾反思，深化知识
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化． 1.等差数列前n项和公式：
2.在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.； 3.公式的推证用的是倒序相加法
【设计意图】归纳总结，完成知识的建构；
（六）布置作业:
1、必做题：教材P11习题A组5、6题；
等差数列的前n项和
【设计意图】巩固知识，发现和弥补课堂学习中的不足，培养学生自觉学习的习惯.
二、Sn 公式推导（问题3） | | 递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹三丈，问日增几何？”。（一匹为四丈，一丈为十尺）
问题1： | | 【设计意图】三、剖析公式为学有余地的学生思维发展提供平台，进一步了解古代中国在数学方面取得的伟大成就，唤起 | | 问题2: 公式1： 生的爱国热情。
| | 公式2： n项和四、例题及解答 《张邱建算经》 一、等差数列的前2、课后思考：《张丘建算经》中关于等差数列求和又一问题：“今有女子善织布，逐日所织的布以同数
| | 七、板书设计：
八、教学反思：
n(a1?an)a?a?(n?1)dn(n?1)Sn?na1?d22 本节课没有因为职专学生基础知识薄弱，学习能力不强而直接给公式，否则的话，就如同波利亚所说的“帽子里Sn?n1精品文档
等差数列的前n项和公式教学文稿
