2019-2020年中考数学压轴题精选（九）及答案资料
81.（08广东茂名25题）（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－
22x+bx+c经3y 过A（0，－4）、B（x1，0）、 C（x2，0）三点，且x2-x1=5． （1）求b、c的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y=－
B C x
O A （第25题图）
22x+bx+c经过点A（0，－4）， 322x+bx+c=0的两个根， 3 ∴c=－4 ……1分
又由题意可知，x1、x2是方程－∴x1+x2=
33························································· 2分 b， x1x2=－c=6 ·
222由已知得（x2-x1）=25 又（x2-x∴
1）=（x2+x1）－4x221x2=
92b－24 492b－24=25 414解得b=± ··························································································· 3分
314当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．
3∴b=－
14． ·························································································· 4分 3解法二：∵x1、x2是方程－
22x+bx+c=0的两个根， 32 即方程2x－3bx+12=0的两个根．
∴x=
3b?9b2?96， ································································ 2分
49b2?96∴x2－x1==5，
2 解得 b=±14 ·················································································· 3分 3 （以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上，
····································································································· 5分
22142725x－x－4=－（x+）2+ ···························· 6分 33326725 ∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． ································· 7分
26 又∵y=－
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与
2214x-x-4的交点， ··················································· 8分
332142 ∴当x=－3时，y=－×（－3）－×（－3）－4=4，
33抛物线y=－
∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． ··············· 9分
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，
3），但这一点不在抛物线上． ································································· 10分
82.（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）
已知点A（a，y1）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y?5x?12x上. （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）
解：（1）由5x?12x=0， ··································································· （1分）
2212． ······································································ （2分） 512∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（?，0）． ································· （3分）
5得x1?0，x2??（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），·························· （4分）
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有
S?ABC=S梯形ADFC -S梯形ADEB -S梯形BEFC ············································ （5分）
=
(17?81)?2(17?44)?1(44?81)?1-- ······························· （6分）
222=5（个单位面积） ······························································ （7分）
（3）如：y3?3(y2?y1)． ······························································· （8分）
2事实上，y3?5?(3a)?12?(3a) =45a2+36a．
3（y2?y1）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a． ·········· （9分） ∴y3?3(y2?y1)． ········································································ （10分）
83.（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB?1，OB?3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋
转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y?ax?bx?c过点A，E，D． （1）判断点E是否在y轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
第26题图 A B F C D O x 2y E （08辽宁沈阳26题解析）解：（1）点E在y轴上 ··········································· 1分 理由如下：
连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，
AB?1，BO?3，?AO?2
?sin?AOB?1，??AOB?30 2由题意可知：?AOE?60
??BOE??AOB??AOE?30?60?90
点B在x轴上，?点E在y轴上． ······························································ 3分 （2）过点D作DM?x轴于点M
2019-2020年中考数学压轴题精选(九)及答案资料
