第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划
A级·基础过关|固根基|
2x－y＋2≥0，??
1.已知实数x，y满足不等式组?x＋2y＋1≥0，若直线y＝k(x＋1)把不等式组表示的平面
??3x＋y－2≤0，区域分成面积相等的两部分，则k＝( )
1
A. 41C. 2
1B. 33D. 4
解析：选B 不等式组对应的平面区域是以A(－1，0)，B(1，－1)，C(0，2)为顶点的三角形(如图)，因为y＝k(x＋1)过定点A(－1，0)，由题意知，直线y＝k(x＋1)过BC的中点
?1，1?，所以斜率k＝1，故选B. ?22?3??
??1≤x＋y≤3，
2．在平面直角坐标系xOy中，不等式组?表示的图形的面积等于( )
?－1≤x－y≤1?
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选B 不等式组对应的平面区域如图，
对应的区域为正方形ABCD，其中A(0，1)，D(1，0)，边长|AD|＝2，则正方形的面积S＝2×2＝2.故选B.
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y≥x－1，??22
3．设p：实数x，y满足(x－1)＋(y－1)≤2，q：实数x，y满足?y≥1－x，则p是q的
??y≤1，
( )
A．必要不充分条件 C．充要条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 画出可行域，易知命题q中不等式组表示的平面区域在命题p中不等式表示的圆面内，故是必要不充分条件．故选A.
x＋y－1≥0，??
4．(2019届长沙模拟)若实数x，y满足不等式组?x－y＋1≥0，且目标函数z＝ax－2y的
??x≤a，
最大值为1，则实数a的值是( )
A.2－1 C.2＋1
B．1 D．3
解析：选B 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分(包含边界)所示，其中
azA(0，1)，B(a，1－a)，C(a，1＋a)．由图知a>0，对z＝ax－2y变形，得y＝x－，当直线2
2
azy＝x－经过点B时，z取得最大值，∴a2－2(1－a)＝1，解得a＝－3(舍去)或a＝1，故选
2
2
B.
5．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 C．36 800元
B．36 000元 D．38 400元
解析：选C 设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则z＝1 600x＋2 400y，则
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36x＋60y≥900，??x＋y≤21，
约束条件为?
y－x≤7，??x，y∈N，
作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值
zmin＝36 800 元．故选C.
y≤1，??
6．(一题多解)(2019届陕西省质量检测一)若变量x，y满足约束条件?x＋y≥0，则z??x－y－2≤0，
＝x－2y的最大值为________．
解析：解法一：由约束条件可知可行域的边界分别为直线y＝1，x＋y＝0，x－y－2＝0，则边界的交点分别为(－1，1)，(3，1)，(1，－1)，分别代入z＝x－2y，得对应的z分别为－3，1，3，可得z的最大值为3.
解法二：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包含边界)所示，
作出直线x－2y＝0并平移，由图可知，当直线过点(1，－1)时，z取得最大值，即zmax
＝1－2×(－1)＝3.
答案：3
x－y＋1≥0，??
7．(2019届广东茂名模拟)已知点A(1，2)，点P(x，y)满足?x＋y－3≤0，O为坐标原
??x＋3y－3≥0，
→→
点，则z＝OA·OP的最大值为________．
→→
解析：由题意知z＝OA·OP＝x＋2y，作出可行域如图阴影部分(包含边界)，作直线l0：y1
＝－x，当l0移到过A(1，2)的l的位置时，z取得最大值，即zmax＝1＋2×2＝5.
2
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答案：5
x－3≤0，??y＋1
8．(2019届石家庄市质量检测二)设变量x，y满足约束条件?x＋y≥3，则z＝的最
x??y－2≤0，
大值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，而
y＋1
表示区域内的动点(x，y)x与定点(0，－1)连线的斜率的取值范围，由图可知，当直线过点C(1，2)时，斜率最大，为2－（－1）
＝3.
1－0
答案：3
9.已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围． 解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.7x－5y－23≤0，??
原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为?x＋7y－11≤0，
??4x＋y＋10≥0.
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(2)根据题意有
[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0， 即(14－a)(－18－a)<0，
解得－18 x－4y＋3≤0，?? 10．已知变量x，y满足?3x＋5y－25≤0， ??x≥1. (1)设z＝，求z的最小值； (2)设z＝x＋y＋6x－4y＋13，求z的最大值． 2 2 yxx－4y＋3≤0，?? 解：由约束条件?3x＋5y－25≤0，作出可行域如图中阴影部分(包含边界)所示． ??x≥1. ??x＝1，?22?由?解得A?1，?； 5????3x＋5y－25＝0， 由? ?x＝1，? ??x－4y＋3＝0， 解得C(1，1)； ??x－4y＋3＝0， 由?解得B(5，2)． ?3x＋5y－25＝0，? (1)因为z＝＝yy－0 ，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知 xx－0 zmin＝kOB＝. (2)z＝x＋y＋6x－4y＋13＝(x＋3)＋(y－2)的几何意义是可行域内的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点B(5，2)到(－3，2)的距离的平方最大， 即d＝ (（－3－5）＋（2－2）)＝64， 2max 222 2 2 2 25 2 故z的最大值为64. B级·素养提升|练能力| x－1≥0，??y11.已知变量x，y满足约束条件?x－y≤0，若的最大值为2，则实数m的值为 x＋1 ??x＋y－m≤0， - 5 -
2021高考文科数学一轮复习第7章不等式第3节二元一次不等式（组）及简单的线性规划课时跟踪检测
