灰色预测法GM(1,1)理论及应用
一、概念
1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介
于白色系统和黑色系统之间的一种系统。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。 2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信
息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。 二、灰色预测的类型
1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色
预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出
现在特定时区内。
3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预
测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。
4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，
并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM（1，1）模型的建立 1. 数据处理
为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
00000i. 设X???X???1?,X???2?,X???3?,...X???n? 是所要预测的某项指标的原始
??X(0)(t?1),t?2,3,L,n。如果绝大部分的级比数据，计算数列的级比?(t)?X(0)(t)都落在可容覆盖区间(e?2n?1,e2n?1)内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色
预测。否则，对数据做适当的预处理。方法目前主要有数据开n方、数据取对数、数据平滑。预处理的数据平滑设计为三点平滑，具体可以按照下式处理
?0??0??0?X?0?(t)??Xt?1?2Xt?X?????t?1????/4
?0??0?X?0?(1)??3X1?X???2????/4 ?0??0?X?0?(n)??Xn?1?3X???n????/4
ii. 预处理后对数据作一次累加生成处理，即：将原始序列的第一个数据作为生
成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据。按此规则进行下去，便可得到生成列。 根据X(1)(k)??X(0)(n)，得到一个新的数列
n?1kX?1??X?1??1?,X?1??2?,X?1??3?,...X?1??n?
??这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。 2. 新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述。
dX(1)?aX(1)?u dt其中：a称为发展灰数；u称为内生控制灰数。 3. 模型求解。
?a??为待估参数向量，?????， 令Yn?[X(0)(2),X(0)(3),?,X(0)(n)]T，??u??1(1)?(1)?(X(1)?X(2)) 1?2???1??(X(1)(2)?X(1)(3)) 1??， B??2? ? ?????1(1)?(1)?(X(n?1)?X(n)) 1???2?于是模型可表示为
? Yn?B?通过最小二乘法得到：
???BTB?BTYn ??1 求解微分方程，即可得灰色预测的离散时间响应函数：
??1??t?1???X?0??1??u?e?at?u,t?0,1,2...,n?1 X?a?a????1??t?1?为所得的累加的预测值，将预测值还原即为： X?(0)(t?1)?X?(1)(t?1)-X?(1)(t) X注：若数据经过预处理，则还需经过相应变换才能得到实际预测值。 4、模型检验
灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。 1) 残差检验
?(0)(t)?X?(1)(t)-X?(1)(t-1) X??0??t??X?0??t? ??0??t??X??0??t? ?(t)?(0),t?1,2,L,n
X(t)分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值，计算出平均相对误差判断精度是否理想。
检验表 序号 2 3 4 5 实际数据 x(0)(k) 3.278 3.337 3.390 3.679 模拟数据 ?(0)(k) x3.2300 3.3545 3.4817 3.6136 残差 0????t? 0.0460 -0.0175 -0.0917 0.0654 相对误差 ?(t) 1.40% 0.52% 2.71% 1.78%
2) 关联度检验
平均相对误差 1.6025% i. 定义关联系数?(t)
?(t)?min??0??t???max??0??t???0??t??max??t??0?
??0?的绝对误差； 其中：①??0??t?为第t个点X?0?与X ②?称为分辨率，0
③对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始
化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。
1n??0??t?的关联度 ii. 定义关联度r????t?，称为X?0??t?与Xnt?1??0??k?与原始序列X?0??k?的关联系数，然后计算出关联根据上述方法算出X度，根据经验，当?=0.5时，关联度大于0.6便满足检验标准。
3) 后验差检验
计算原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为:
?X?0??t??X?0?????,S?S1?2n?1计算方差比C?2?0??0???t???????? n?12S200，小误差概率P?P????t??????0.6745S1S1??，令
et???0??t????0?，S0?0.6745S1，则P?P?et?S0?
检验指标P和C与灰色预测精度检验等级标准如下表所示： 检验指标 P C
优 >0.9 <0.35
XXX表 良 >0.8 <0.5
中 >0.7 <0.65
差 ≤0.7 ?0.65
四、残差模型修正
若用原始经济时间序列X?0?建立的GM（1，1）模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM（1，1）模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM（1，1）的残差模型。
?(1)(k)为X(1)的残差序?(k)?x(0)(k)-x设?(0)?(?(0)(1),?(0)(2),...,?(0)(n))其中，
列。若存在k0，满足
1.?k?k0,?(0)(k)的符号一致；
2.n?k0?4，则称(|?(0)(k0)|,|?(0)(k0?1)|,...,|?(0)(n)|)为可建模残差尾段，仍记为?(0)?(?(0)(k0),?(0)(k0?1),...,?(0)(n))
设?(0)?(?(0)(k0),?(0)(k0?1),...,?(0)(n))为可建模残差尾段，其一次累加序列
?(1)?(?(1)(k0),?(1)(k0?1),...,?(1)(n))的GM(1,1)模型的时间响应式为
bb?(1)(k?1)?(?(0)(k0)??)e[?a?(k?k)]??,k?k0 ?a?a?则残差尾段的模拟序列为
0?(0)?(??(0)(k0),??(0)(k0?1),...,??(0)(n)) ?其中
b?(0)(k?1)?(?a?)(?(0)(k0)??)e[?a?(k?k)],k?k0 ?a??(1)则称修正后的时间响应式 ?(0)修正X? 若用?b?akb?(0)(x(1)?)e?,k?k0??aa(1)?(k?1)?? x b?[?a?(k?k0)]b?akb(0)(0),k?k0?(x(1)?)e??a?(?(k0)?)e?aaa??为残差修正GM(1,1)模型，简称残差GM(1,1)。
b?(0)(k?1)?(?a?)(?(0)(k0)??)e[?a?(k?k)]的符号应与残差尾其中残差修正值?a?00段?(0)的符号保持一致。
b?(0)(k)?x?(1)(k)?x?(1)(k?1)?(1?ea)(x(0)(1)?)e?a(k?1)则相应的残差修正时? 若xa间响应式
b?ak?a(0)(1?e)(x(1)?)e,k?k0??a?(0)(k?1)??x b?[?a?(k?k0)]b?aka(0)(0),k?k0?(1?e)(x(1)?)e?a?(?(k0)?)e?aa??称为累减还原式的残差修正模型。
取定k后，按此模型，可对k>k0的模拟值进行休整，修正后的精度如下表：
误差检验表 序号 实际数据 x(0)(k) 模拟数据 ?(0)(k) x残差 0????t? 相对误差 ?(t) 10 18 17.1858 0.8142 4.52% 11 15.5 16.4799 -0.9799 6.32% 12 17 15.7604 1.2396 7.29% 13 15 15.0372 -0.0372 0.25% 4.595% 平均相对误差 残差修正GM(1,1)模型的模拟精度得到了明显提高。若对残差精度仍不满意，就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。
再用P和C检验预测效果。
五、GM(1,1)模型的适用范围
灰色GM(1,1)模型评价推广 ( 1) 灰色GM(1,1)模型优点
灰色GM(1,1)预测模型在计算过程中主要以矩阵为主, 它与MATLAB的结合解决了它在计算中的问题. 由MATLAB编制的灰色预测程序简单实用, 容易操作, 预测精度较高.
( 2) 灰色GM(1,1)模型的缺点
该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口发展进行预测的方法,
灰色预测法GM(1-1)理论及应用
