第45课时 立体几何中的向量方法(Ⅰ)
——证明平行与垂直
编者：刘智娟 审核：陈彩余
班级_________ 学号_________ 姓名_________
第一部分 预习案
一、学习目标
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系 2. 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用
二、知识回顾
1．直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线l上的向量e (e≠0)以及与e共线的 向量叫做直线l的方向向量． (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量． 2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)? v1∥v2 (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 3．用向量证明空间中的垂直关系
v2＝0. (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u
u2＝0. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·
三、基础训练
1．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2
的位置关系是__________
→→→→→
2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________．
b＝(2,0,4)，c＝(－4，3．已知a＝(－2，－3,1)，－6,2)，则下列结论正确的序号是________．
①a∥c，b∥c; ②a∥b，a⊥c； ③a∥c，a⊥b; ④以上都不对．
1
→→
4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为____________．
5．若平面α、β的法向量分别为v1＝(2，－3,5)，v2＝(－3,1，－4)，则α、β的位置关系为____________．
四、我的疑惑
第二部分 探究案
探究一 利用空间向量证明平行问题
问题1、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点． 求证：PB∥平面EFG.
探究二 利用空间向量证明垂直问题
问题2、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．
求证：AB1⊥平面A1BD.
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探究三 利用空间向量解决探索性问题
问题3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
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