即当n=k+1时，命题也成立， 所以对于一切n∈N，都有an?1?bn＝1－an?1， n?11，取n?2t?1,t?N?， n?11111?11?11??1?????????????????t?1?t?1?????t?23n2?34?2??2?12?2b1?b2?b3?????bn?
即b1?b2?b3?????bn?111t???????， 2222所以对于任意实数M＞0，取t>2M，且n?2t?1,t?N?， 有b1?b2?b3?????bn?M 所以不存在满足条件的M. 【点睛】
此题考查与数列相关的不等式证明问题，涉及利用导函数证明不等式，利用数学归纳法结合放缩法证明不等式.
221．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1:x?2py,(p?0)的焦点，且抛物线C1上
点P处的切线与圆O:x?y?1相切于点Q，
22
（1）当直线PQ的方程为x?y?2?0时，求抛物线C1的方程；
2S1（2）当正数p变化时，记S1,S2分别为?FPQ,?FOQ的面积，求2的最小值.
S2【答案】（1）x2?42y；（2）122?17
【解析】（1）根据切线的斜率和切点坐标列方程组即可求解；
?24?x02?（2）设出切线方程根据位置关系求出Q?,分别表示出两个三角形的面积，?，
?x02p?利用基本不等式求解最值. 【详解】
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?x02?x2x2,y??，因为直线PQ的的斜率为1， （1）设点P?x0,?，由x?2py得y?2pp?2p?x0x02?1，且x0??2?0解得p?22，所以抛物线方程x2?42y； 所以p2px02x0??x?x0?，即2x0x?2py?x02?0， （2）点P处的切线方程为y?2pp切线与圆O:x?y?1相切，则22x024x02?4p2?1化简得：x04?4x02?4p2
?2x0x?2py?x02?0?2?24?x02?2由方程组?x?y?1解得Q?,?，
x2p?0??x4?4x2?4p20?0x0222所以PQ?1?kx0??1?2?x0??x0px02p2?x02p
x02?2 ?x0?p2?x02?p??点F?0,?到切线的距离d?22?2?4x0?4p11所以S1?PQd?24p2?x02px02?p22x02?2p2?x02x02?222， ??x0?p??x04px0S2?1pOFxQ? 22x0422242由x0?4x0?4p得4p?x0?4x0?0即x0?2，
S1p2?x02x02?22x0??? 所以S24px0pp??x??2?x02??x02?2?2p2
40?4x02?4x02??x02?2?2?x0?4x042?
?x02?x02?2?2?x02?4?x02?44??2?3?22?3
2x0?4x02?44?2当且仅当时等号成立，即x02?4?22此时p?2?22 2x0?4S1所以的最小值为22?3
S2第 17 页 共 20 页
S12所以2的最小值为122?17.
S2【点睛】
此题考查直线与抛物线位置关系，根据直线与曲线相切构造等量关系，表示出三角形的面积利用函数关系或基本不等式求解最值.
22．已知函数f?x??e?esinx，x??0，（． ?e为自然对数的底数）
xx????2?（1）求函数f?x?的值域；
k(x?1)(1?sinx)对任意x??0，?恒成立，求实数k的取值范（2）若不等式f(x)…围；
（3）证明：e＞?x?1????2?13(x?)2?1． 22?【答案】（1）?0,1?；（2）?1?k??e2?1；（3）证明见解析.
2【解析】（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；
x（2）先由题意，将问题转化为e?k(x?1)对任意x??0，?恒成立，构造函数
2?????g(x)?ex?kx?k，对函数g(x)求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可
得出结果. （3）令h?x??ex?113?(x?)2?1，对函数h?x?求导，用导数方法研究其单调性，22求其最小值，只需最小值大于0即可. 【详解】
（1）因为f?x??e?esinx，
xx所以f??x??e?e(sinx?cosx)?e(1?sinx?cosx)?e?1?2sin(x?)?，
4??xxxx???∵x??0，?，∴x?????2????3????，?， 4?44?∴sin?x?????2，所以f??x??0， ??4?2第 18 页 共 20 页
???
fx故函数??在?0，?上单调递减，函数f?x?的最大值为f?0??1?0?1；
?2?
????f?x?的最小值为f???e2?e2sin?0，
2?2?所以函数f?x?的值域为?0,1?．
x（2）原不等式可化为e(1?sinx)?k(x?1)(1?sinx) …（），
??因为1?sinx?0恒成立，故（）式可化为ex?k(x?1)． 令g(x)?e?kx?k，则g?(x)?ex?k，
x???xg(x)?当k?0时，g(x)?e?k?0，所以函数在?0，?上单调递增，故
?2?g(x)?g(0)?1?k?0，所以?1?k?0；
当k?0时，令g?(x)?e?k?0，得x?lnk，
xx 所以当x?(0,lnk)时，g?(x)?e?k?0；当x?(lnk,??)时，g?(x)?e?k?0．
x所以当lnk＜当lnk??，即0?k?e2时，函数g(x)min?g(lnk)?2k?klnk?0成立；
2???，即k?e2时，函数g(x)在?0，?上单调递减，2?2?
?????
g(x)min?e2????2?g???e2?k?k?0，解得e?k??
2?2??12?综上，?1?k??（3）令h?x??ee2?1．
2x?1133?(x?)2?1，则h??x??ex?1?x?． 2221??13??13?13???2 由h????e?1＜0，h????e4?＞0，故存在x0??，?，使得h??x0??0，
24244??????即 ex0?1?3?x0． 2所以，当x?(??,x0)时，h??x??0；当x?(x0,??)时，h??x??0． 故当x?x0时，函数h?x?有极小值，且是唯一的极小值，
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故函数h(x)min?h?x0??e2x0?113313?(x0?)2?1??(x0?)?(x0?)2?1 2222221?35?3?31???(x0?)?1????x0???， 2?22?2?22?因为x0??，?，所以故h?x??ex?1?13??24?15313531(x0?)2?>(?)2??>0， 22224223213?(x?)2?1>0， 22132x?1即e>?(x?)?1．
22【点睛】
本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.
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2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题（解析版）
