故y?ln(x?20)是单调增加函数。
正确的选项是D。
（2）函数f(x)?x?lnx的单调增加区间是（ ）。
解 用求导数的方法，因
f?(x)?(x?lnx)??1?令f?(x)?1?1 x1?0,则x?1，则函数的单调增加区间是(1,??)。 x2．了解一些基本概念。
（1）了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，知道函数的极值点与驻点的区别与联系；
（2）了解边际概念和需求价格弹性概念；
3．熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几
何问题中的最值问题。掌握求边际函数的方法，会计算需求弹性。 例2 经济应用题
1．生产某种产品q台时的边际成本C?(q)?2.5q?1000（元/台），固定成本500元，若已知边际收入为R?(q)?2q?2000,试求
（1） 获得最大利润时的产量；
（2） 从最大利润的产量的基础再生产100台，利润有何变化？ 解 这是一个求最值的问题。 （1）L??R??C?
=2q?2000?(2.5q?1000)
=?0.5q?1000
令L??0，求得唯一驻点q?2000。因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为2000时，可使利润达到最大。
（2）在利润最大的基础上再增加100台，利润的改变量为
?L??21002000(?0.5q?1000)dq
12 ?(?q?1000q)???2500
42000即利润将减少2500元。
2. 设某产品的成本函数为
210012（万元） C()q?q?3q?10025C(q)1100?q?3? q25q其中q是产量，单位：台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少？
平均成本 C(q)?
C(q)?1100?2?0 25q解得q1=50（台），q2=－50（舍去）
因有意义的驻点唯一，故q=50台是所求的最小值点。当产量为50台时，平均成本最小。
最小平均成本为
C(50)?[1100q?3?]q?50?7（万元） 25q3. 生产某种产品的固定费用是1000万元,每多生产1台该种产品,其成本增加10万元，又知对
该产品的需求为q=120-2p(其中q是产销量，单位：台; p是价格,单位:万元).求 (1) 使该产品利润最大的产量; (2) 该产品的边际收入.
解（1）设总成本函数为C(q)，收入函数为R(q)，利润函数为L(q)，于是 C(q)=10q+1000(万元)
得到 q=50(台)。 因为驻点唯一，故q＝50台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获 最大利润。
12q(万元) 212 L(q)＝R(q)-C(q)=50q?q?1000(万元)
2()?500?? ?
R(q)=qp=60q?Lqq0q?(2) 因 R(q)=612q，故边际收入R?(q)=60－q(万元/台) 。 2
(3) 例3 确定
f(x)?2x3?9x?12x?3的单调区间。
解：该函数的定义域为（
??,??）
f'(x)?6x2?18x?12?6(x2?3x?2)?6(x?1)(x?2)
令0?X )x('f，得x1?1,x2?2
(??,1) (1,2) (2,??) f'(x) + — + f(x) ↗ ↘ ↗ ∴函数f(x)在
(??,1)及(2,??)内单调增加，在（1，2）内单调减少。
例4 设q=100-8p为需求函数，当需求量q=( )时，总收入R最大。 A、100 B、50 C、200 D、25 答案：（B） 例3 若f'(x0)?0，则x0是f(x)的（ ）。 A、极大值点 B、最大 C、极小值点 D、驻点 答案：（D）
例5 若函数f(x)在[a,b]内恒有f'(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值为______。 答案：f(a)
例6 当x=4时，y?x2?px?q取得极值，则p=_____。 解：
y'?2x?p
令y'?0,x??p
2p??4?p??8 2答案：-8。 例7 设函数f(x)在点则
x0的领域可导，而且f'(x0)?0如果f'(x)在点x0的左右由正变负，
f(x0)为f(x)的_____。
答案：极大值。
例8求函数f(x)?xln2x的极值。 解：此函数定义域为（0，+?）
1f'(x)?(xln2x)'?ln2x?x.2lnx.?ln2x?2lnx?lnx(2?lnx)
x令
f'(x)?0，即lnx.(2?lnx)?0
?2x?1,x?e得1 2x (0,e?2) + e0 ?2 (- e?21 ,1) 0 0 (1,??) + f'(x) f(x) 4e?2 由上表可知，函数
?2f(x)在x?e处达到极大值，极大值为f(e)?4e；函数f(x)?2?2在x=1处达到极小值，极小值为f(1)=0。
例9 已知生产某种商品（单位：千件）的成本函数为c(q)?0.1q?15q?22.5（单位：千元），试求使该产品的平均成本最小的产量和最小平均成本，并求此时的边际成本。 解：设生产q千件产品的平均成本为c(q)
2则
c(q)0.1q2?15q?22.522.5c(q)???0.1q?15?
qqqq?(0,??) c(q)'?0.1?令c(q)'?22.5 q20，解得q=15，q=-15（舍去）
∵q=15是平均成本函数c(q)在定义域内的唯一驻点。 ∴q=15是平均成本c(q)的极小值点也是最小值点。
即当产量q=15千件时，该产品的平均成本最小，最小平均成本为为C（15）=18（千元）。 又∵边际成本c'(q)?0.2q?15
∴当q=15时，C’（15）=18 即当产量为15千件时的边际成本为18千元/千件。
例10 某厂生产某种产品，其固定成本为2000元，每生产1吨产品成本增加60元，对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p (q为需求量，p为价格)，试求： （1）成本函数，收入函数； （2）产量为多少吨时利润最大；
（3）获得最大利润时的价格及需求弹性。 解：（1）成本函数c(q)?c0?c1(q)
∴C(q)=2000+60q，收入函数R（q）=p.q，∵q=1000-10p ∴p?100?1q 10q)qR(q)?(100??100q?110110
q2（2）利润函数L(q)=R(q)-C(q) ∴
L(q)?100q?1010q2?(2000?60q)??q2?40q?2000 11
专科经济数学基础期末复习指导
