又x=1时，y=e
∴切线方程为：y-e=e(x-1) 即：y = ex 例2
设需求函数为q?1000e?0.125p,其中q为需求量，p为价格。
试求： （1） 需求量q对价格p的弹性； （2） 当价格p=10时，求需求弹性值，并说明其经济意义。 解:(1)需求量q对价格p的弹性为 ?∵
?p.q' qq?1000e?0.125pq'?1000eq' q0.125p(?0.125)
∴需求量q对价格p的弹性为：
??p.1000e?0.125p(?0.125)?p.??0.125p ?0.125p1000e
（3） ，?p?10??1.25
（负号表示需求量q是价格的单调减函数）。其经济意义为：在价格p=10 的基础上，若价格提高（减少）1%，需求量将减少（增加）1.25%。 例3:下列结论中（ ）是正确的。 A． f(x)在x=x0处连续，则f(x)在x0处可导。 B． f(x)在x=x0处极限存在，则f(x)在x0处有定义 C． f(x)在x0处有定义，则f(x)在x0处有极限 D． f(x)在x0处不连续，则f(x)在x0处不可导 答案：（D） 例4 试在曲线2x?y上求一点，使过该点的切线方程平行于直线解：已知直线的斜率为k=2。
当p=10时，需求量q对价格p的弹性
y?2x?1。
又由线在任一点的切线斜率为k?y'?(x2)'?2x
要使切线平行于已知直线，就要求斜率相等，即2x=2, ∴x=1,y=12=1 故曲线
y?x2在（1，1）点的切线平行于已知直线y=2x-1。
例5 求下列函数的导数或微分：
（1）y解：
?x2x?1，求dy。
(x2)'(x?1)?x2(x?1)'y'??2(x?1)2x(x?1)?x2.(x?1)212x4xx(x?1)?x23x2?4xx??22x(x?1)2x(x?1)23x2?4xx?dy?y'dx?dx22x(x?1)
（2）解：
y?e?xx ，求y'。
1x1x321xy'?(e)'?(xx)'?(e)'?(x)'1321x32
?e.()'?x??2e?xx2x21x111（3）解：
y?e2?x2?2x?1，求
y'x?0。
y??e?x
?2x?1(?x2?2x?1)??(2?2x)e?x2?2x?1?y' (4)
x?0?2(1?0)e0?1?2e?1?2 ey?eaxsinbx,求y'。
解：
y'?eax.(ax)'sinbx?eax.cosbx.(bx)'?eax.asinbx?eax.cosbx.b?e(asinbx?bcosbx)（5）解：
sin111y'?3.ln3.(sin)'?3x.lnx.cos.()'xxx
11sin11ln31sin?3x.ln3.cos.(?2)??2(cos).3xxxxxsin1x1ax
y?3sin1x，求
y'。
(6)
y?lncos(ex)?? 求y?(0)
y'?11x(cose)'?(?sinex).(ex)'xx cos(e)cos(e)??ex.tgex（7）y?xey?1，求y'(0)。
解：这是隐函数，方程两端同时对x求导。
y'?(xey)'?1y'?ey?xey.y'?0 y'(1?xey)??eyey∴y'??
1?xey又∵x=0时，代入原方程y=1
∴
y'x?0x?ye????e
1?0e?xy?1，求y'。
（8）e解：这是隐函数，方程两端同时对x求导。
2x?2y.y??(1?y?xy?)?3?0 2x?2y?y??y?xy??3?0
y?(2y?x)?y?2x?3
?y??y?2x?3
2y?xdy?y?dx?y?2x?3dx
2y?3
(11)
y?xex 求 y??
解：求函数的二阶导数时，先求一阶导数，再求二阶导数。
y??x?ex?x(ex)??ex?xex
?(1?x)ex
?y???(1?x)ex?1?ex?(1?x)ex
???(2?x)ex
(12) 解：
y?xcosx 求y??
y??cosx?x?(cosx)??cosx?x?sinx
?y????cosx?x?sinx???sinx?(1.sinx?x?cosx) ??2sinx?x?cosx
例6：下列等式中（ ）是正确的。
1dx?d(2x)2x1B.lnxdx?d() x11c.?dx?d(2)xxD.sinxdx?d(cosx)A.答案：D
三、导数的应用
例1在指定区间[－10，10]内，函数y?（ ）是单调增加的。 A.sinx
B. e?x
C.x
2
D. ln(x?20)
解 这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数，从图形上就比较容易看出它们的单调性。
A中sinx是正弦函数，它的图形在指定区间[－10，10]内是波浪形的，因此不是单调增加函数。 B中e?x是指数函数，(e?x)?=－e?x<0，故它是单调减少函数。
C中x是幂函数，它在指定区间[－10，10]内的图形是抛物线，因此不是单调增加函数。 根据排除法可知正确答案应是D。
也可以用求导数的方法验证：在指定区间[－10，10]内，只有(ln(x?20))??21?0
x?20
专科经济数学基础期末复习指导
