?2?111???1?21?1?A???1?21?1???0?53?1?
???????1?32c???0?53c?1???12?11??? ?0?53?1 ??0c???00?可见，当c=0时，方程组有解。
1?10?5?3 A??01?5??000??原方程组的一般解为
3?5?1?? 5?0???
31?x??x??1553 ?（x3是自由未知量）
13?x??x23?55?
例11若A是对称矩阵，则AT-A=______。 答案：0
例12若矩阵A可逆，则（AT）-1=____. 答案：（A-1）T
例13设A，B均为方阵，若AB =I，则A-1=_____,B-1=______. 答案：B，A
?10?100??则A?1??01例14矩阵A??020???2???00?1???000??0? ?1??
例15 设A、B均为方阵，则下列结论正确的是（ ）。 A．（AB）T=ATBT B．AAT=ATA
C．若AT=A，则（A2）T=A2
D．若AT=A，BT=B，则（AB）T=AB。 答案：（C）。
例16 设A是三角形矩阵，若主对角线上元素（ ），则A可逆。 A．全部为0
B．可以有零元素 C．不全为0 D．全不为0 答案：（D）
?2例17A????4??3?2解A?B????4??3?1??9??70?B???810?求A?B???1???1??22?28??9???7?0????2836?????810????1???13?17????31??求2BT?AA?BB??2?8???1??2?5???322??20?1???84解2BT?A?2??? ??????1?81??4?56???2?11?4???31?20?1?????81??A?B?????2?8????1250?4?56???2???1???20?1?例18A????4?56???111111?例19A??3211?3c???012263??求秩A?5433?1d????111111??解A??3211?3c??11110?1?2?2??012263?????012?5433?1d???2?0?1?2?2??111111??0?1?2?2?6c?3???00000c???00000d?2??当c?0且d?2时,秩A?2;当c?0且d?2时,秩A?4;当c?0且d?2时,秩A?3;当c?0且d?2时,秩A?3?2?例20设A??123?B????1?求A?BB?A???5???2?解A?B??123?????1???15?
???5???2?B?A????1??246??123????1?2?3??????5????5105??11??6c?3??63???6d?5??
?3例21设A???2??3?3解?AE????2??3?45??31???5?1??5求A?1100??1?141?10??2?31010??31010???????5?1001???3?5?1001??41?10?1?10??1?1?1?14???0?1?7?230???0?1?7?230??????11?31??0?2?13?331???00??1?141?10??100?829?11????0?105?187???0?105?187???????31??0011?31???0011??4??829?11???A?1???518?7????1?31??
?35??12? 例21 解矩阵方程XA?B其中A??B?????58??34?
解X?BA?13510??61020??122?1?????5801??5801??5801?????2?1??12?10?85??? ???015?3?0?2?106??????85??1?A????53??AE?????12???85??2?1?X?BA?1?????????3453?43??????例22证明：若A2=I，且AAT=I，则A为对称矩阵。 证明：∵A2=I A.A=I ∴A-1=A 又∵AAT=A ∴A-1=AT
故AT=A ∴A为对称阵矩阵。
例23 若矩阵B1和B2均与矩阵A可交换，则K1B1+K2B2与A也可交换（K1，K2为任意常数）。 证明：∵B1和B2均与A可交换有B1A=AB1，B2A=AB2 ∴（K1B1+K2B2）.A =K1B1A+K2B2A
=K1（B1A）+K2（B2A） =K1（AB1）+K2（AB2） =A（K1B1）+A（K2B2） =A（K1B1+K2B2）
故K1B1+K2B2与A可交换。
例24设n阶方阵A满足A2+A-3I=0，试证：矩阵A-I可逆，且（A-I）-1=A+2I。 证明：∵A2+A-3I=0 A2+A-2I=I （A-I）（A+2I）=I 由可逆阵的定义，
∴A-I可逆且（A-I）-1=A+2I
例25设A、B都是对称矩阵，则乘积A.B是对称矩阵的充分必要条件是A，B可交换。 证明：必要性：
∵A、B、A .B都是对称矩阵，即AT=A，BT=B，（AB）T=AB，且 AB=（AB）T=BTAT=BA ∴AB=BA 充分性：
∵A，B是对称矩阵，即AT=A，BT=B，且（AB）T=BTAT=BA=AB ∴AB是对称矩阵。
例26设A是对称矩阵，且A可逆，证明A-1也是对称矩阵。 证明：已知AT=A，且A-1存在 ∵（A-1）T=（AT）-1 ∴A为对称矩阵A-1 ∵A-1是对称矩阵。
例27讨论入的情况，使齐次线性方程组
专科经济数学基础期末复习指导
