高中数学 3.2立体几何中的向量方法教案 新人教A版选修2-1

高中数学 3.2立体几何中的向量方法教案 新人教A版选修2-1

教学目标：

1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平

行与垂直、法向量求法

2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法

sin??cos??PoP?np0pn.(见第一.3所示图）3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何

的本质

重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法 教学过程：

相关知识与能力： 一.空间距离的计算

1. 空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离d=|AB|

n是a、2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，b的公共法向量（即n?a且n?b），

点A?a,B?b

则异面直线a、b间的距离

b d AB?nn d? n a 即AB在n方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。 3.点（或线）到平面的距离：

1）设n是平面?的法向量,点P,. o是平面?外一点P是平面α内任一点，则PO到平面α的距离 P0 d?PoP?nn

nP θ β d O 2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。 α 二.空间角度的计算

1. 两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，n∥l1，m∥l2，则l1与l2所成的角

α=或α=л - （0<α≤

?） 2?） 2cos=n?mn?mn?m或 cosα=（0<α≤

n?m 1

2. 斜线P0P与平面α所成的角θ(0????2)

3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为n,m，则α与β所成的角的大小为 或

???n,m?（如何确定？）

典例分析：

例1.在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是D1D,BD的中点，G在棱CD上，且CG?1 α CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。 4

B C

D β A （1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成的角的余弦； （3）求FH的长。

解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则E（0，0，

1） 2113,,0）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0） 22411111∵EF?(,,?),B1C?(?1,0,?1)∴EF?B1C???0??0

22222F（

则EF?B1C即EF?B1C （2）C1G?(0,?1171,1)∴C1G?02?(?)2?12?

44411311313()2?()2?12??EF?C1G??0???(?)?0? 22222428由（1）知EF? 2

故EF与C1G所成角的余弦值为

51 17（3）∵ H为C1G1的中点 ∴ H（0，

7111，又F（,,0） ,）8222∴FH?17114141(0?)2?(?)2?(?0)2? 即FH?

282288例2.如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。

（1）写出A、B1、E、D1的坐标；

（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。

解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2） （2）∵AB1?(0,?2,2),ED1?(0,1,2) ∴AB1?22，ED1?5,AB1?ED1?0?2?4?2

∴AB1与ED1所成的角的余弦值为

10 10例3.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD；

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