“华约”自主招生数学试题及解答(-)
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2010年“华约”自主招生试题解析
一、选择题 1．设复数w?(a?i2)，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为（ ） 1?i3113（A）? （B）? （C） （D）
22222．设向量a,b，满足|a|?|b|?1,a?b?m，则|a?tb|(t?R)的最小值为（ ） （A）2 （B）1?m2 （C）1 （D）1?m2 3。缺 4。缺
5．在?ABC中，三边长a,b,c，满足a?c?3b，则tan1112（A） （B） （C） （D）
5423ACtan的值为（ ） 226．如图，?ABC的两条高线AD,BE交于H，其外接圆圆心为O，过O作OF垂直
BC于F，OH与AF相交于G，则?OFG与?GAH面积之比为（ ） （A）1:4 （B）1:3 （C）2:5 （D）1:2
7．设f(x)?eax(a?0)．过点P(a,0)且平行于y轴的直线与曲线C:y?f(x)的交点为
Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，则?PQR的面积的最小值是（ ） 2ee2e（A）1 （B） （C） （D）
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x2y2x2y2?k(a?2,k?0)，椭圆C2:2??1．若C2的短轴长与C1的8．设双曲线C1:2?a4a4实轴长的比值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为（ ） （A）22?k （B）2 （C）44?k （D）4
9．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小值为（ ）
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
10．设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用?表示空间以直线
OA为轴满足条件?(B)?C的旋转，用?表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设
l为过AB中点与CD中点的直线，用?表示空间以l为轴的180°旋转．设??表示变换的复合，先作?，再作?。则?可以表示为（ ）
（A）????? （B）?????? （C）????? （D）
??????
二、解答题 11．
在?ABC中，已知2sin2（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求?ABC面积的最大值． 12．
设A、B、C、D为抛物线x2?4y上不同的四点，A,D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为d1,d2，已知d1?d2?2AD．
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A?B?cos2C?1，外接圆半径R?2． 2
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