2019 年全国各地中考数学压轴题汇编（四川专版）
几何综合
参考答案与试题解析
1．（ 2019?成都）如图， AB 为⊙ O 的直径， C，D 为圆上的两点， OC∥BD ，弦 AD，BC 相交于点 E．
（ 1）求证：
＝
；
（ 2）若 CE＝ 1， EB＝ 3，求 ⊙ O 的半径；
（ 3）在（ 2）的条件下，过点 C 作 ⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点
于 F， Q 两点（点 F 在线段 PQ 上），求 PQ 的长．
证明：（ 1）∵ OC＝ OB
∴∠ OBC＝∠ OCB
∵ OC∥BD
∴∠ OCB＝∠ CBD
∴∠ OBC＝∠ CBD
∴
（ 2）连接 AC，
∵ CE＝ 1，EB＝3，
∴ BC＝ 4
∵
∴∠ CAD ＝∠ ABC，且∠ ACB＝∠ ACB
P，过点作 PQ∥ CB 交⊙ O
1
P ∴△ ACE∽△ BCA
∴
∴ AC2
＝ CB?CE＝ 4× 1 ∴ AC＝ 2，
∵ AB 是直径
∴∠ ACB＝ 90°
∴ AB＝
＝ 2
∴ ⊙ O 的半径为
（ 3）如图，过点 O 作 OH ⊥ FQ 于点 H ，连接 OQ，∵ PC 是 ⊙O 切线，
∴∠ PCO＝ 90°，且∠ ACB＝ 90°
∴∠ PCA＝∠ BCO＝∠ CBO，且∠ CPB＝∠ CPA
∴△ APC∽△ CPB
∴
2
∴ PC＝ 2PA， PC＝ PA?PB ∴ 4PA 2
＝ PA×（ PA+2
）
∴ PA＝
∴ PO＝
∵ PQ∥ BC ∴∠ CBA＝∠ BPQ，且∠ PHO ＝∠ ACB＝ 90°
∴△ PHO ∽△ BCA
∴
2
即
∴ PH＝
，OH ＝
＝
∴ HQ ＝
∴ PQ＝ PH +HQ ＝
2．（ 2019?自贡）（ 1）如图 1，E 是正方形 ABCD 边 AB 上的一点，连接 BD、DE ，将∠ BDE 绕点 D 逆时针旋转 90°，旋转后角的两边分别与射线
BC 交于点 F 和点 G．
① 线段 DB 和 DG 的数量关系是
DB ＝ DG ；
② 写出线段 BE， BF 和 DB 之间的数量关系．
（ 2）当四边形 ABCD 为菱形，∠ ADC ＝ 60°，点 E 是菱形 ABCD 边 AB 所在直线上的一点，连接
BD 、DE ，将∠ BDE 绕点 D 逆时针旋转 120°，旋转后角的两边分别与射线
BC 交于点 F 和点 G．
① 如图 2，点 E 在线段 AB 上时，请探究线段 BE 、BF 和 BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；
② 如图 3，点 E 在线段 AB 的延长线上时， DE 交射线 BC 于点 M ，若 BE＝1，AB＝ 2，直接写出线段 GM 的长度．
解：（ 1） ① DB＝DG ，理由是：
∵∠ DBE 绕点 B 逆时针旋转 90°，如图 1，
由旋转可知，∠ BDE ＝∠ FDG ，∠ BDG ＝ 90°，
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2021年四川中考数学压轴题汇编：几何综合(解析卷)
