得
(1)a3(1)ab
9a9ab
整理得
2
0
2
····································································1分
4abb
2
0
………………2分解得
ab
1
2………………3分2
∴抛物线的解析式为（2）令
y2
120
x
2
32
x
·······················································4分2 ·
12
x
2
32
x
解得
x11，x2
4
∴B点坐标为（4，0）又∵D点坐标为（0，∴S梯形ABCD＝设直线y
2）
2
∴AB∥CD ∴四边形ABCD是梯形．
y
12
(51(k
3)8 ······················· 5分
kx1
0)与x轴的交点为H，
A
T（
O D
与CD的交点为T，
H
B x T C
k
∵直线ykx
∴S梯形AHTD＝∴
则H（
，0），
3k
，
2） ·············· 6分
1(k123k
0)将四边形ABCD面积二等分
S梯形ABCD＝４
y=kx+1
图(9)-1 y
12
(
1k43
1
)24 ······························ 7分
A O
E
G F
B x M
N
图(9)-2
∴k
·················································· 8分
（3）∵MG⊥x轴于点G，线段MG︰AG＝1︰2
∴设M（m，
Q
m12
），···································9分∴
∵点M在抛物线上解得m1
m12
12
m
2
32
m
2
3，m2
1（舍去） ······················· 10分
·······································································11分2） ·
MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，
······································································12分3） ·
26、（12分）已知二次函数
∴M点坐标为（3，
根据中心对称图形性质知，∴N点坐标为（1，
30.（09年贵州黔东南州）（1）求证：不论
yx
2
axa2。
a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点。
（2）设a<0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为（3）若此二次函数图象与
13时，求出此二次函数的解析式。
P，使得△
x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点
PAB的面积为
3132
，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由。
（09年贵州黔东南州
26题解析）解（1）因为△=a
2
4(a2)(a2)
2
40
所以不论a为何实数，此函数图象与（2）设x1、x2是yx轴总有两个交点。…………（2分）
x
2
axa20的两个根，则x1x2a，x1?x2a
2，
因两交点的距离是
13，所以|x1
x2|(x1
x2
)2
13。…………（4分）
即：(x1
x2
2
)13
变形为：(x1x2
)2
4x1?x213……………………………………（
5分）
所以：(a)2
4(a
2)
13整理得：(a5)(a1)
0
解方程得：
a5或1
又因为：a<0 所以：a=－1
所以：此二次函数的解析式为
yx
2
x3…………………………（
6分）
（3）设点P的坐标为(xo,y0)，因为函数图象与x轴的两个交点间的距离等于
所以：AB=
13……………………………………………………………………（
8分）
所以：S=
12
AB?|y13△PAB0|
2
所以：
13|y0|132
2
即：|y0|3，则y03…………………………………（
10分）
当y2
0
3时，x0
xo
33，即(x03)(xo2)0
解此方程得：x0=－2或3
当y0
3时，x2
0
xo
3
3，即x0(xo1)
0
解此方程得：
x0=0或1……………………………………（
11分）
综上所述，所以存在这样的P点，P点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。…（13，
12
分）
31.（09年贵州安顺）27、（本题满分12分）
如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与（1）（2）（3）
求抛物线的解析式；设抛物线顶点为
D，求四边形AEDB的面积；
△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
y轴交于点B(0，3)。
（09年贵州安顺27题解析）解：（1）(5′) ∵抛物线与y轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为根据题意，得
yax
2
bx
3(a0)
(1′)
ab3
y
00
x
2
9a3b3
，解得
ab
2
3(5′)
1，4）
1
∴抛物线的解析式为
2x
(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（
设对称轴与x轴的交点为F ∴四边形ABDE的面积=S==
ABO
（2′)
DFE
S梯形BOFD
12
S
1212
AOBO13
12
2
12
(BODF)OF12
EFDF
（5′）
(34)124=9
（3）(2′)相似如图，BD=DE=即：∴∴
BGEFBE
DG2
2
14
2
2
1
2
2；∴BE=
BE
2
BO
2
OE
2
3
20
2
3
2
32
DFBDAOB
22
22
2
25∴BD
20, DE
2
2
DE,所以90,且
2
BDE是直角三角形
AOBD
BOBE
22
,
′)
10分）直线y
2
DBE
AOB∽DBE (2
28．（本小题满分
32.（09年黑龙江大兴安岭地区）标轴分别交于（OA
到达A点时运动停止．
kxb(k0)与坐
14x480的两根A、B两点，OA、OB的长分别是方程x
，动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，OB）
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点P的运动时间为t(秒)，
OPA的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不
yB
标；
必写出自变量的取值范围）；
（3）当S12时，直接写出点
若不存在，请说明理由．
P的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点M，
使以O、A、P、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点M的坐
PO
A
x
（09年黑龙江大兴安岭地区
(2)∵OA
当点
28题解析）(1)
A(8,0),B(0,6)………………………
.各1分
8，OB6，∴AB10
t，
P在OB上运动时，OP1
12
OAOP1
12
8t
S
当点
4t；..............1分
OA于点D，
P在BA上运动时，作P2D
AP2AB61012
OA
tP2D
1612
有
P2DBO
∵AP2∴S（3）当
t，∴P2D8
4853t
483t5125
………………………1分
1分
t
1925
……………………
1分
4t12时，t
3，P1(0,3)，………………………………
此时，过
AOP各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点
1分
M不存
在；……………………………………………………………………………
当
125
t
1925
12时，t
11，P2(4,3)，……………………1分
1分
此时，M1(0,3)、M2(0,6)………………………………………各
注: 本卷中各题, 若有其它正确的解法
,可酌情给分.
33.（09年海南）24.（满分13分）如图12，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，
顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图
平行移动，同时一动点
12所示的位置沿
x轴的正方向匀速
P也以相同的速度．．．．．从点A出发向B匀速移动，设它们运动
N（如图13所示）.
的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为①当t=
5时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
2
S，试问S是否存在最大值？若存在，
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为
求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
y
M
C
B
C y
N
M B
·P
O (A)E x M的坐标为D O （09年海南D 24题解析）（1）因所求抛物线的顶点(2,4)，A
故可设其关系式为又抛物线经过解得a=-1∴所求函数关系式为
图12
E
x
yax2
2
4
2
………………(1分)
图13
O(0,0)，于是得
a0240，
………………(2分) ………………(3分)
yx2
2
4，即yx
2
4x. ……………(4分)
………………(5分)
（2）①点P不在直线ME上.
根据抛物线的对称性可知
E点的坐标为(4,0)，
又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b. 于是得
4k2k
bb
04
，解得
kb
8
2
所以直线ME的关系式为y=-2x+8. ……(6分) 由已知条件易得，当
t
52
时，OA=AP
52
，
55P,22
……………(7分)
∵P点的坐标不满足直线∴当t
ME的关系式y=-2x+8.
………………(8分) ………………(9分)
N在抛物线上，
∴OA=AP=t.
∴AN=-t2+4t (0≤t≤3) , ∴PN=-t2+3 t
…(10分)
52
时，点P不在直线ME上.
②S存在最大值. 理由如下：
∵点A在x轴的非负半轴上，且
∴点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t) ∴AN-AP=(-t2+4 t)- t=-t2+3 t=t(3-t)≥0 , 形的高为AD，∴S=1DC·AD=1×3×2=3.
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角
22
………………(11分)
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD，∴S=
12
(CD+PN)·AD=
12
[3+(-t2+3 t)]×2=-t2+3 t+3=
t
32
2
214
其中(0＜t＜3)，由a=-1，0＜
3＜3，此时
S最大
221
. …………(12分) 4
2021学年中考数学压轴题典型题型解析
