第三章 导数及其应用
第1节 变化率与导数、导数的计算
课标要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x，
2
y=x3，y=，y=x的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法
1x则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax+b））的导数；6.会使用导数公式表。
【知识衍化体验】
知识梳理
1．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的 ，记作：y′|x＝x0或
fx0＋Δx－fx0f′(x0)，即“当?x?0时，
Δxf′(x).
2．导数的几何意义和物理意义
?f′(x0)”.
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝
几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)上 的斜率k，即k＝ ；切线方程为 ．
物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0
时刻的 ．
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝ (C为常数)；(2)(x)′＝ (n∈Q)； (3)(sinx)′＝ ；(4)(cosx)′＝ ； (5)(a)′＝ ；(6)(e)′＝ ； (7)(logax)′＝ ；(8)(ln x)′＝ . 4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ ； 特别地：[C·f(x)]′＝ (C为常数)； (3)?
xxn*
?fx?′＝ (g(x)≠0)．
?
?gx?
5．复合函数的导数
设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【微点提醒】
1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.
3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，贰直线与二次曲线相切只有一个公共点．
5.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
基础自测
32
1．有一机器人的运动方程为s(t)＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻tt＝2时的瞬时速度为( )
19171513 B. C. D. 4444
f（1＋Δx）－f（1）
2．设函数f(x)可导，则等于( )
3Δx1
A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3)
3A.
3．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为( )
2x－1A．x－y－2＝0 C．x＋4y－5＝0
A．e B．1 C．ln 2 D．e
5．已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是 11
A．e B．－e C. D．－
ee
2
xB．x＋y－2＝0 D．x－4y－5＝0
4．函数f(x)＝x(2017＋ln x)，若f′(x0)＝2018，则x0的值为( )
【考点聚焦突破】
考点一 导数的基本运算
角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1-1】求下列函数的导数：
cosxlnx?211?(1)y＝x；(2)y＝x?x＋＋3?；(3) y＝2. xx?ex＋1?
x?2x?
（4）y＝－sin?1－2cos? (5)y＝
4?2?
角度2 导数运算的应用
1
2x－1
3
.
【例1-2】已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且对任意的实数x都有f′(x)＝e(2x－2)＋
xf(x)，f(0)＝1，则( )
A．f(x)＝e(x＋1) B．f(x)＝e(x－1)C．f(x)＝e(x＋1) D．f(x)＝e(x－1)
规律方法 1.连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
2.分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导. 3.对数形式：先化为和、差的形式，再求导. 4.根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.
5.三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导. 6.复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导. 【训练1】求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－4x)(2x＋1)；(2)y＝xsinx； (3)y＝
考点二导数的几何意义 角度1 求切点坐标与切线方程
1x【例2-1】（1）(2015陕西，5分)设曲线y＝e在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P. 1－2x1
2
2
xxx2x2
x
高考数学复习、高中数学 变化率与导数、导数的计算附答案解析
