第三章 导数及其应用
第1节 变化率与导数、导数的计算
课标要求 1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;2.体会极限思想;3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,
2
y=x3,y=,y=x的导数;5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法
1x则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数;6.会使用导数公式表。
【知识衍化体验】
知识梳理
1.导数的概念
(1)f(x)在x=x0处的导数就是f(x)在x=x0处的 ,记作:y′|x=x0或
fx0+Δx-fx0f′(x0),即“当?x?0时,
Δxf′(x).
2.导数的几何意义和物理意义
?f′(x0)”.
(2)当把上式中的x0看作变量x时,f′(x)即为f(x)的导函数,简称导数,即y′=
几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)上 的斜率k,即k= ;切线方程为 .
物理意义:若物体位移随时间变化的关系为s=f(t),则f′(t0)是物体运动在t=t0
时刻的 .
3.基本初等函数的导数公式
(1)C′= (C为常数);(2)(x)′= (n∈Q); (3)(sinx)′= ;(4)(cosx)′= ; (5)(a)′= ;(6)(e)′= ; (7)(logax)′= ;(8)(ln x)′= . 4.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′= ; (2)[f(x)·g(x)]′= ; 特别地:[C·f(x)]′= (C为常数); (3)?
xxn*
?fx?′= (g(x)≠0).
?
?gx?
5.复合函数的导数
设函数u=φ(x)在点x处有导数u′=φ′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′=f′(u),则复合函数y=f[φ(x)]在点x处也有导数y′x=f′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【微点提醒】
1.f′(x0)与x0的值有关,不同的x0,其导数值一般也不同. 2.f′(x0)不一定为0,但[f(x0)]′一定为0.
3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 4.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,贰直线与二次曲线相切只有一个公共点.
5.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
基础自测
32
1.有一机器人的运动方程为s(t)=t+(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻tt=2时的瞬时速度为( )
19171513 B. C. D. 4444
f(1+Δx)-f(1)
2.设函数f(x)可导,则等于( )
3Δx1
A.f′(1) B.3f′(1) C.f′(1) D.f′(3)
3A.
3.曲线y=在点(1,1)处的切线方程为( )
2x-1A.x-y-2=0 C.x+4y-5=0
A.e B.1 C.ln 2 D.e
5.已知直线y=kx是曲线y=ln x的切线,则k的值是 11
A.e B.-e C. D.-
ee
2
xB.x+y-2=0 D.x-4y-5=0
4.函数f(x)=x(2017+ln x),若f′(x0)=2018,则x0的值为( )
【考点聚焦突破】
考点一 导数的基本运算
角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1-1】求下列函数的导数:
cosxlnx?211?(1)y=x;(2)y=x?x++3?;(3) y=2. xx?ex+1?
x?2x?
(4)y=-sin?1-2cos? (5)y=
4?2?
角度2 导数运算的应用
1
2x-1
3
.
【例1-2】已知f′(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f′(x)=e(2x-2)+
xf(x),f(0)=1,则( )
A.f(x)=e(x+1) B.f(x)=e(x-1)C.f(x)=e(x+1) D.f(x)=e(x-1)
规律方法 1.连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
2.分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. 3.对数形式:先化为和、差的形式,再求导. 4.根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
5.三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. 6.复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导. 【训练1】求下列函数的导数:
(1)y=(3x-4x)(2x+1);(2)y=xsinx; (3)y=
考点二导数的几何意义 角度1 求切点坐标与切线方程
1x【例2-1】(1)(2015陕西,5分)设曲线y=e在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P. 1-2x1
2
2
xxx2x2
x
高考数学复习、高中数学 变化率与导数、导数的计算附答案解析
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